Post on 06-Feb-2018
transcript
- Dynamik von Drehbewegungen -
Prof. Dr. Ulrich Hahn
WS 2015/2016
Physik im Studiengang Elektrotechnik
Dynamik Drehbewegungen 2
Bewegung ausgedehnter Objekte
System aus (vielen) Massenpunkten
starrer Körper: Feste Positionen der Massen-
punkte untereinander
Bewegungen eines starren Körpers:
Translation Bahnen der Massenpunkte sind kongruent
Rotation Bahnen der Massenpunkte: konzentrische Kreise
Freiheitsgrade der Rotation:
3 Punkte fest Keine Bewegung
2 Punkte fest
1 Punkt fest
0 Punkte fest
Bewegung um feste Achse
Bewegung bewegliche Achse (1 Pkt. fixiert)
Bewegung um freie Achsen
Dynamik Drehbewegungen 3
Trägheitsmoment (Drehmasse) des starren Körpers
Rotationsenergie
)1(
Starrer Körper rotiert um feste Achse:
kinetische Energie eines Massenpunktes:
22
112
11)1(
22 r
mv
mEkin
kinetische Energie des starren Körpers:
22
1 2
i
N
i
irot r
mE
N
i
ii rm1
2
2
²
N
i
ii rmJ1
2: m²kg][ J
2
2
JErot
Dynamik Drehbewegungen 4
Trägheitsmoment
J hängt ab von: Massenverteilung des starren Körpers Drehachse
starrer Körper: beliebig viele Trägheitsmomente
Spezialfälle: Drehachsen durch den Schwerpunkt
3 ausgezeichnete Achsen:
1. J: maximal
2. J: minimal
3. auf 1) und 2)
senkrecht aufeinander
J1, J2, J3: Hauptträgheitsmomente des starren Körpers
Homogene Massenverteilung: Hauptträgheitsachsen:
Symmetrieachsen
Hauptträg-
heitsachsen
Dynamik Drehbewegungen 5
Berechnung von Trägheitsmomenten
(starre) Körper kontinuierliche Massenverteilung
Beschreiben durch die Dichteverteilung bzw. r(r) )(s
r
iii Vrm r )(
r
N
i
iii
NV
VrrJi 1
2
0)(lim r
.KstarrerVolumen
Vrr d²)(
Volumenintegral in karthesischen Koordinaten:
zyxrzyxJ
RichtungzinBegrenzung
RichtungyinBegrenzung
RichtungxinBegrenzung
d)d)d²),,((( r
Sukzessives Integrieren über x, y, z Variable, über die nicht integriert wird, als Konstanten behandeln
Dynamik Drehbewegungen 6
Beispiel:
Hauptträgheitsmoment eines Quaders
x
y
z
ba
c
Vd
xr
'y
'z
homogene Dichte constr
Rotation um x-Achse
rQuader
xx VrJ d²
Koordinatenursprung
im Schwerpunkt
²)²(12
cbm
J x
Dynamik Drehbewegungen 7
Hauptträgheitsmomente einfacher Körper
Dynamik Drehbewegungen 8
Steinerscher Satz
Berechnung von J für Achsen, die nicht
durch den Schwerpunkt verlaufen:
Kinetische Energie eines Systems von Massenpunkten:
²2
i
i
ikin v
mE ²
2²
2
1 *
i
i
iS v
mvM
²2
1 Arot JE
d
)²(2
dM
²dMJJ SA
²)²(2
1 SJdM
)²(2
S,i
i
i rm
Dynamik Drehbewegungen 9
Trägheitsmoment komplexer Objekte
Objekt zerlegen in einfache Teilobjekte
i
iObjekt JJ
Speziell: Aussparungen
AussparungAussparungohneObjekt JJJ
Dynamik Drehbewegungen 10
0
0
:
v
z
Kreisbewegung: vektorielle Beschreibung Massenpunkt:
r
Bewegung um z-Achse mit
„positive“ Drehrichtung
Zusammenhang zwischen : r,,v
rv
Vektorprodukt
Regel
Eigenschaften des Vektorproduktes : ba
a
b
bac
)sin( b,aba
Ebeneb,a
bc,ac
baab
Rechte Hand Regel
x
y
Dynamik Drehbewegungen 11
Zusammenhang Bahn- und Winkelgrößen
Winkelgröße Bahngröße
Geschwindigkeit
Beschleunigung tangential
Beschleunigung radial
differentielles Wegstück
rv
rat
var
d rs
dd
Korrespondierende Größen Translation-Rotation
Translation Rotation
m J
Ft J.
Dynamik Drehbewegungen 12
radial tangential
äußere Kraft auf rotierenden Massenpunkt
äußere Kraft beschleunigte Kreisbewegung t
r
t
va
d
)d(
d
d
t
eere
t
eree
t
reer
ta r
rrrd
d
d
d
d
d
d
d
bewegliche
Achse
variabler
Radius Kraftrichtung
tangentiale Kraft Beschleunigungsarbeit Erot
consttF
gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung
E
A
s
s
ttB samW
d, J)(²
2
1 22
AErm
rer
²
Dynamik Drehbewegungen 13
Drehmoment
tFrJ :
Vektor // Drehachse J // Drehachse
Definition Drehmoment: :eJ FrM
Nm][ M
Newton II für Rotation
Kraft Drehmoment in Richtung einer Drehachse:
Angriffspunkt außerhalb der Drehachse
in eine Ebene zur Drehachse gerichtet ist
nicht // zum Abstandsvektor Drehachse-Angriffspunkt gerichtet ist
Starrer Körper: äußere Tangentialkraft
Beschleunigung aller Massenpunkte
ermM i
i
i
i
i
2 eJ tFrM
Dynamik Drehbewegungen 14
Kraftwirkung auf starre Körper
äußere Kraft System von Massenpunkten:
SaMF
in Richtung der Kraft
unabhängig vom Angriffspunkt
Beschleunigung des Schwerpunktes
Drehbewegung Drehmoment
)()( FMFMM
FrFr
Frr
)(
F
F
F
r
r
unabhängig vom Ursprung von r,r
nur abhängig vom Abstand der
Angriffspunkte der Kräfte F, F‘
äußere Kräfte : i
iS FaM
Kräftepaar: 21 FF
0 Sa
Schwerpunkt ruht
Rotation um Schwerpunkt
Dynamik Drehbewegungen 15
Kraftwirkung auf starre Körper
Lage des Angriffspunktes einer Kraft:
Translation: ohne Bedeutung
Rotation: FrrFrM //
)( Fr
Wirkungslinie:
Gerade durch den Angriffspunkt einer Kraft
in Richtung der Kraft
Verschiebung des Angriffspunktes auf
der Wirkungslinie:
gleiche Änderung des Bewegungszustandes
Kräfte an starre Körper sind linienflüchtig
Dynamik Drehbewegungen 16
Mehrere Kräfte wirken auf starren Körper
Schnittpunkt der Wirkungslinien
Angriffspunkt der Resultierenden
Vektorielle Addition der Kräfte
Gleiche und entgegengesetzt
gleiche Resultierende greifen im
Schwerpunkt an
Translation Resultierende im S
Rotation Kräftepaar
Sonderfall: Gleichgewicht bzgl. Translation: i
iF 0
bzgl. Rotation: i
iM 0
Hebelgesetz
Dynamik Drehbewegungen 17
Starrer Körper im Schwerefeld
Bedingungen für Gleichgewicht?
Translation:
Kraft zum Verhindern des freien Falls
i
ai Fgm 0
i
ia mgF
gM
Rotation: ir
aF
ar
0 aa
i
ii Frgmr
1. M/rmri
iia )(
Fa greift im Schwerpunkt an
2. g//rMrm a
i
ii
stabiles Gleichgewicht
labiles Gleichgewicht
Dynamik Drehbewegungen 19
„Kapazität“
vmp
Drehimpuls
Newton II (Translation): t
pF
d
d
Analog für Rotation: FrM
t
L
d
d
Definition Drehimpuls: prL
Nmss
mkgm][ L
gilt allgemein, nicht
nur für feste Achsen
Bewegungszustand eines starren Körpers:
Translation:
Rotation prL
J
Ströme
F
M
Ende
Start
t
t
tFp d
kurzzeitige Wechselwirkung: Ende
Start
t
t
tML d
:LM
und abhängig vom Ursprung r
Dynamik Drehbewegungen 20
Drehimpulse verschiedener Bewegungen
Massenpunkt:
gleichmäßige
Kreisbewegung
const.L
Ursprung im
Kreismittelpunkt
r
const.L
Massenpunkt:
gleichförmige
Bewegung
L rotiert um
die Achse
Ursprung auf
der Achse
r .L const
r
p
Dynamik Drehbewegungen 21
L
Drehimpuls des Schwerpunkts
Drehimpuls im Schwerpunktsystem
System von Massenpunkten: Drehimpuls
Drehimpuls: mengenhafte Größe
i
iSystem LL
i
S
*
i
*
ii Lvrm
1r 2r
Drehimpuls rotiert um die Achse
ML
im Schwer-punkt
L
L
//L
= const
Starrer Körper aus 2 Massenpunkten (gleiche Massen):
Dynamik Drehbewegungen 22
Ausgewuchteter starrer Körper
1r 2r
1L
2L
L
const.21 LLL
//L
0 M
Zur Drehachse symmetrische
Massenverteilung
gilt für beliebige Wahl des
Ursprungs von r1 und r
2
Keine Drehmomente,
keine Kräfte in Lagern
Achse Hauptträgheitsachse
Freie Achsen: Hauptträgheitsachsen, um die sich ein starrer Körper
nach Einwirkung eines Drehmomentes dreht
Stabile Rotation: Achse mit Jmax oder Jmin
Dynamik Drehbewegungen 23
Drehimpulserhaltung
System von Massenpunkten:
abgeschlossenes System
Massenpunkte wechselwirken
1
3
2
Gesamtdrehmoment der inneren Kräfte
2r
32F
12F
)( 31211 FFrM
)( 23133 FFr
)( 32122 FFr
Newton III: ijji FF
Wechselwirkungskräfte wirken parallel zur Verbindungslinie
0KräfteinnereM
const.SystemsenesabgeschlosL
externSystem ML
Dynamik Drehbewegungen 24
Kreiselbewegung
Ein Punkt des starren Körpers fixiert: Rotation um bewegliche Achse
Einfach: Fixierung im Schwerpunkt
Rotation um Hauptträgheitsachse
//L
stabile Rotation
Präzession des Kreisels: Fixierung außerhalb des Schwerpunktes
LM
L rotiert um P
tML
L
L
M
P
LL
|L|
t|M|
|L|
|L|
|L|
|M||:|
tP
allgemein: PLM