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transcript
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II3. Folgen und Grenzwerte
H. Rodner, G. Neumann
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Zahlenfolgen und Grenzwerte
Didaktische Grundpositionen zu Folgen
Definition des Grenzwerts einer Folge
Arithmetische und geometrische Folgen
Reihen
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Didaktische Grundpositionen zu Folgen
I Traditionell:Systematische Einführung in die Theorie der Folgen undGrenzwerte
I Nach neuem Rahmenplan:
1 Nur noch in Fragmenten im Leistungskurs:”allgemeine Eigenschaften von Funktionen(Grenzwert von Zahlenfolgen, Stetigkeit undDifferenzierbarkeit und deren Zusammenhang), RLP, S. 30
2 Unterthema im Wahlpflichtfach 10 in "Beschränktes undlogistisches Wachstum"
Stattdessen werden Folgen nunmehr als
natürliches Instrument zur Beschreibung iterativer Prozesse"DANCKWERTS, R.; VOGEL, D.: Analysis verständlich unterrichten, 2006, S. 18.
begriffen, wie zum Beispiel bei der diskreten Modellierung realerWachstumsprozesse.
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Begriff der Konvergenz
ε-Umgebung einer Zahl a:1
nach beiden Seiten offenes Intervall, dasa als Mittelpunkt hat und dessen Intervallenden von a die Entfernung ε haben:
Uε(a) = ]a−ε ; a+ε[ = {x ∈ R | a−ε < x < a+ε}
ε ε
aGrenzwert einer FolgeDie Zahl g heißt Grenzwert einer Folge (an), wenn in jeder (noch so kleinen)ε-Umgebung von g unendlich viele Glieder der Folge liegen, aber außerhalbnur endlich viele,d. h. wenn man eine Platznummer n0 angeben kann, sodass alle Glieder miteiner höheren Platznummer als n0 in der Umgebung liegen.Wir schreiben lim
n→∞= g oder an → g für n→∞.
I Erleichtert die Redundanz dieser Definition das Verständnis?1Die Beschreibungen bzw. Definitionen auf dieser Folie sind dem Schulbuch
Elemente der Mathematik (Leistungskurs Analysis, Schroedel, 2008) entnommen.4 / 31
Begriff der Konvergenz: Epsilon-Umgebung
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Begriff der Konvergenz: Definition
2Beide Darstellungen entnommen aus: Lambacher Schweizer, Mathematik fürGymnasien, Gesamtband Oberstufe mit CAS, Klett: Stuttgart 2007.
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Begriff der Konvergenz: Beweis
Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Konvergenz, dass die Folge
(an) mit (an) =2n2−3
3n2
den Grenzwert 23 besitzt.
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Nullfolgen
Besonderheit: Nullfolgen
I ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N , so dass ∀n ≥ n0 : |an| < ε
I Ab einer bestimmten „Platznummer“ werden die Beträge allerFolgenglieder beliebig klein (kleiner als jede „noch so kleine“positive Zahl).
Nullfolgen sind besonders bedeutsam in Hinblick auf denDifferentialquotienten (Ableitung).
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Begriff der Konvergenz: Verbalisierung
Welche Sprechweise für die Grenzwertdefinition?
1. "1n kommt mit wachsendem n der Null beliebig nahe."
2. " 1n strebt gegen null für n gegen unendlich."
3. " 1n kommt mit wachsendem n der Null immer näher"
4. " 1n kommt der Null immer näher, ohne sie jemals zu erreichen."
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Grenzwerte und Konvergenz
Grenzwertsätze für FolgenFalls die Folge (an) gegen A und die Folge (bn) gegen B konvergiert,so gilt:
I Die Summenfolge (an + bn) konvergiert gegen A + B.
I Die Differenzfolge (an − bn) konvergiert gegen A− B.
I Die Produktfolge (an · bn) konvergiert gegen A · B.
I Die Quotientenfolgean
bnkonvergiert gegen
AB. (B 6= 0)
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Begriff der Konvergenz: Beispiele
Untersuchen Sie die Folgenauf Konvergenz oder Divergenz.
Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
(an) =1n (bn) =
n√
10 (cn) =4n+2n2
n2
(dn) = ( 12)
n (en) = 2n (fn) =n2
n+1
(gn) = cos(n) (hn) = − (−1)n
n + 1n (in) = (1 + 1
n)n
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Arithmetische und geometrische Folgen
Arithmetische Folge:Eine Folge (an) heißt arithmetische Folge, falls gilt:
an+1 = an + d (für alle n ∈ N)
Explizite Darstellung:
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Arithmetische Folgen
Arithmetische Folge:Eine Folge (an) heißt arithmetische Folge,falls gilt:an+1 = an + d (∀n ∈ N)
Explizite Darstellung:an = a1 + (n− 1) · d, d 6= 0 (∀n ∈ N)
Zusammenhang zu linearen Funktionen
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Geometrische Folgen
Geometrische Folge:Eine Folge (an) heißt geometrische Folge, falls gilt:an+1 = an · q (für alle n ∈ N)
Explizite Darstellung:
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Geometrische Folgen
Geometrische Folge:Eine Folge (an) heißt geometrische Folge, falls gilt:an+1 = an · q (für alle n ∈ N)
Explizite Darstellung:an = a1 · qn−1 (für alle n ∈ N)
Zusammenhang zur Exponentialfunktion
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Geometrische und arithmetische Folge in der Sek. I
Ein anfangs 800 m2 großer Teich vergrößert sich durch die Baggerarbeitenjede Woche um 550 m2.Bei Wasseruntersuchungen wird eine Algenart beobachtet, die sich sehrschnell vermehrt. Die von den grünen Algen bedeckte Fläche ist zu Beginnder Baggerarbeiten 1 m2 groß, sie verdoppelt sich jede Woche.Ein Wissenschaftler behauptet: "Bald ist der ganze See grün!"Bei denBeamten der Kommunalverwaltung erntet er nur ungläubiges Kopfschütteln.Wer hat Recht?
Für die Betrachtung der Wachstumsprozesse in Wochen, also für denDefintionsbereich D = N ∪ {0}, beschreiben die Funktionswerte der zuermittelnden Funktionen zur Berechnung des Flächeninhalts dieFolgenglieder jeweils einer arithmetischen und geometrischen Folge.
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Geometrische Folge
Welche der Folgen (an) bis (in) sind geometrischen Folgen?
Beschreiben Sie das Konvergenzverhalten einer geometrischen Folge
(an) = qn , q ∈ R.
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Reihen
Ist (an) eine Folge, so entsteht durch die Partialsummen
sn =
n∑i=0
ai oder sn =
n∑i=1
ai
eine neue Folge (sn): die Partialsummenfolge bzw. Reihe.
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Harmonische Reihe
Interessant sind u. a. Reihen (sn), die durch Nullfolgen (an) entstehen.
I Erklären Sie auf für Schüler verständliche Weise, dass die Reihe
(sn) mit sn =
∞∑n=1
1n
unbeschränkt ist und deshalb divergiert.
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Harmonische Reihe
2
2Zu finden in: http://arxiv.org/abs/0710.2357v120 / 31
Harmonische Reihe
Veranschaulichung des langsamen Wachstums der harmonischenReihe:http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/MatheVital/AnalysisI/Reihen0
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Geometrische Reihe
I Veranschaulichen Sie ikonisch, dass (tn) mit tn =
∞∑n=1
12n
konvergiert.
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Konvergenz der Geometrischen Reihe
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Geometrische Reihe
Definition: Geometrische ReiheIst (an) eine geometrische Folge mit an = a1 · qn−1 , so entsteht die zudieser Folge gehörende Folge (sn) der Teilsummen durch:
s1 = a1 = a1
s2 = a1 + a2 = a1 + a1 · q1
sn = a1 + a2 + ...+ an = a1 + a1 · q1 + ...+ a1 · qn−1
Die Folge (sn) heißt geometrische Reihe.
Satz:Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangsglied a1 undden konstanten Quotienten q. Dann gilt für das allgemeine Glied sn:
sn = a1 ·1− qn
1− q(q 6= 1)
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Geometrische Reihe
Definition: Geometrische ReiheIst (an) eine geometrische Folge mit an = a1 · qn−1 , so entsteht die zudieser Folge gehörende Folge (sn) der Teilsummen durch:
s1 = a1 = a1
s2 = a1 + a2 = a1 + a1 · q1
sn = a1 + a2 + ...+ an = a1 + a1 · q1 + ...+ a1 · qn−1
Die Folge (sn) heißt geometrische Reihe.
Satz:Eine geometrische Reihe sei gegeben durch das Anfangsglied a1 undden konstanten Quotienten q. Dann gilt für das allgemeine Glied sn:
sn = a1 ·1− qn
1− q(q 6= 1)
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Geometrische Reihe: Grenzwert
Wie lautet der Grenzwert für 0 < q < 1:
limn→∝
sn =?
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Geometrische Reihe: Grenzwert
limn→∝
sn = limn→∝
n∑i=1
a1 · qi−1 = limn→∝
a1 ·qn − 1q− 1
(q 6= 1)
Für 0 < q < 1:
limn→∝
sn = a11−q
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Geometrische Reihe: Grenzwert
limn→∝
sn = limn→∝
n∑i=1
a1 · qi−1 = limn→∝
a1 ·qn − 1q− 1
(q 6= 1)
Für 0 < q < 1:
limn→∝
sn = a11−q
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Geometrische Reihe: Grenzwert
limn→∝
sn = limn→∝
n∑i=1
a1 · qi−1 = limn→∝
a1 ·qn − 1q− 1
(q 6= 1)
Für 0 < q < 1:
limn→∝
sn = a11−q
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Beispiele für die Konvergenz der geometrischen Reihe
I Stellen Sie 0, 9 als geometrische Reihe dar und zeigen Sie, dassgilt: 0, 9 = 1
I Paradoxon des Zenon von Elea (490 bis 430 v. Chr.):”Achilles und die Schildkröte"Achilles und eine Schildkröte veranstalten ein Wettrennen.Die Schildkröte erhält einen Vorsprung von 100 m.Sie ist nur ein 1
10 mal so schnell wie Achilles. Läuft Achilles die ersten100 m, so ist die Schildkröte schon 10m weiter, ist Achilles weitere 10 mgelaufen, so ist auch die Schildkröte schon 1m weiter.Kann Achilles sie also jemals erreichen?Berechnen Sie die Länge der Strecke, nach der Achilles die Schildkröteüberholt, mit Hilfe der geometrischen Reihe.
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Beispiele für die Konvergenz der geometrischen Reihe
I 0, 9 = limn→∝
n∑i=1
0, 9 · 0, 1i−1 = 0, 9 · 11− 0, 1
=0, 90, 9
= 1
I
Achilles überholt die Schildkrötenach einer Streckenlängevon lim
n→∝sn in Metern mit:
limn→∝
sn
= limn→∝
n∑i=1
100 · 0, 1i−1
= 100 · 11− 0, 1
=1000
9= 111, 1
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung(nach DANCKWERTS /VOGEL)
Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% einesMedikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Diewirksame Anfangsdosis sei d0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100gdes Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufeder Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt!
I Indizes: 4-stündige PeriodenI d1 = 3
4 · 125 + 100 = q · d0 + cI rekursive Bildungsvorschrift: dn+1 = 3
4 dn + 100 = q · dn + c(di : Masse des Medikaments in Gramm)
I Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für dn.
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung(nach DANCKWERTS /VOGEL)
Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% einesMedikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Diewirksame Anfangsdosis sei d0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100gdes Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufeder Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt!
I Indizes: 4-stündige PeriodenI d1 = 3
4 · 125 + 100 = q · d0 + cI rekursive Bildungsvorschrift: dn+1 = 3
4 dn + 100 = q · dn + c(di : Masse des Medikaments in Gramm)
I Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für dn.
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung(nach DANCKWERTS /VOGEL)
Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% einesMedikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Diewirksame Anfangsdosis sei d0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100gdes Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufeder Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt!
I Indizes: 4-stündige PeriodenI d1 = 3
4 · 125 + 100 = q · d0 + cI rekursive Bildungsvorschrift: dn+1 = 3
4 dn + 100 = q · dn + c(di : Masse des Medikaments in Gramm)
I Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für dn.
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung(nach DANCKWERTS /VOGEL)
Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% einesMedikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Diewirksame Anfangsdosis sei d0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100gdes Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufeder Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt!
I Indizes: 4-stündige PeriodenI d1 = 3
4 · 125 + 100 = q · d0 + cI rekursive Bildungsvorschrift: dn+1 = 3
4 dn + 100 = q · dn + c(di : Masse des Medikaments in Gramm)
I Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für dn.
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Ein weiteres Beispiel für diskrete Modellierung(nach DANCKWERTS /VOGEL)
Angenommen, innerhalb von 4 Stunden werden jeweils 25% einesMedikaments vom Körper abgebaut und ausgeschieden. Diewirksame Anfangsdosis sei d0 = 125g. Alle vier Stunden werden 100gdes Medikaments erneut gegeben. Beschreiben Sie, wie sich im Laufeder Zeit der Medikamentenspiegel im Körper entwickelt!
I Indizes: 4-stündige PeriodenI d1 = 3
4 · 125 + 100 = q · d0 + cI rekursive Bildungsvorschrift: dn+1 = 3
4 dn + 100 = q · dn + c(di : Masse des Medikaments in Gramm)
I Stellen Sie eine explizite Bildungsvorschrift auf für dn.
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:
d1 = q · d0 + c
d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c
= q2 · d0 + c · (q1 + 1)
dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)
limn→∝
sndn = qn · d0 + c · 11− q
(für 0 < q < 1)
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:
d1 = q · d0 + c
d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c
= q2 · d0 + c · (q1 + 1)
dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)
limn→∝
sndn = qn · d0 + c · 11− q
(für 0 < q < 1)
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:
d1 = q · d0 + c
d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c
= q2 · d0 + c · (q1 + 1)
dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)
limn→∝
sndn = qn · d0 + c · 11− q
(für 0 < q < 1)
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:
d1 = q · d0 + c
d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c
= q2 · d0 + c · (q1 + 1)
dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)
limn→∝
sndn = qn · d0 + c · 11− q
(für 0 < q < 1)
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:
d1 = q · d0 + c
d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c
= q2 · d0 + c · (q1 + 1)
dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)
limn→∝
sndn = qn · d0 + c · 11− q
(für 0 < q < 1)
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
Herleitung der expliziten Bildungsvorschrift für d0 = 125, q = 34 , c = 100:
d1 = q · d0 + c
d2 = q · d1 + c = q · (q · d0 + c) + c
= q2 · d0 + c · (q1 + 1)
dn = qn · d0 + c · (qn−1 + ...+ q1 + 1)
limn→∝
sndn = qn · d0 + c · 11− q
(für 0 < q < 1)
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
limn→∝
dn = 1001−0.75 = 400
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Beispiel für diskrete Modellierung: Medikamentenspiegel
limn→∝
dn = 1001−0.75 = 400
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