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transcript
Das Kepler-Problem
Max Camenzind - Akademie HD - Mai 2016
• In der Physik bezeichnet man als Zweikörper-Problem die Aufgabe, die Bewegung zweier Körper, die ohne äußere Einflüsse nur miteinander wechselwirken, zu berechnen. Speziell wird als Zweikörper-Problem auch die Aufgabe der klassischen Mechanik bezeichnet, die Bewegung zweier Körper zu berechnen, die sich gegenseitig mit einer Kraft anziehen oder abstoßen, die proportional zum Quadrat des inversen gegenseitigen Abstandes abnimmt.
• Im astronomischen Kontext wird das Problem auch als Kepler-Problem bezeichnet. Ursprünglich wurde angenommen, das Zweikörper-Problem würde zur Beschreibung eines heliozentrischen Kosmos ausreichen. Dem ist leider nicht so!
Das Zweikörper-Problem
Das Zweikörper-Problem
Inhalt
• Die Situation zu Newtons Zeiten.
• Das Gravitationsgesetz von Newton.
• Newtonsche Mechanik und Lagrange-Formalismus.
• Die Reduktion des 2-Körper-Problems:
• Bewegung des Schwerpunktes;
• Reduzierte Masse;
• Lösung des reduzierten Problems;
• Diskussion der Kepler-Gesetze;
Die Situation zu Newtons Zeit
Kopernikus setzt die Sonne
ins Zentrum des Sonnen-
systems
Johannes Kepler untersucht
Tycho Brahes Planetendaten
Findet in 40 Jahren 3 Gesetze
wäre heute ein Problem!
Kepler-Gesetze nach J. Kepler
3. Kepler-Gesetz
Const Für alle Planeten
(T²/a³)Erde = 2,97 x 10-19 s²/m³
Ad 1. Kepler-Gesetz: Schnur-Konstruktion der Ellipse
Schnur-Länge = 2a
Was sind Ellipsen ? Immer durch 2 Parameter
bestimmt ! z.B. a & b
2 Parameter einer Ellipse
Ad 2. Kepler-Gesetz „Flächensatz“
Ad 3. Kepler-Gesetz Je weiter weg der Planet, desto langsamer
Umlaufszeiten nehmen zu
Kritische Frage: Sind Planetenbahnen
wirklich Ellipsen? Nein!
Das Newtonsche Gravitationsgesetz Die Anziehung der Massen ist universell
Max Camenzind 11.06.2016
Das Gravitationsgesetz vektoriell Gravitationskraft ist proportional
- zur schweren Masse der beiden Körper
- zum Quadrat des reziproken Abstandes
- wirkt in Richtung der Verbindungsgraden
2r
1r
y
x
z 1m
2m 21K21 ~,~ mm
12
2 mit1~ rr dd
12
1212
rr
rre
Gravitationskraft
3
12
122112
rr
rrK
mGm
kg
G2
314-
s
m1046672
mit der Gravitationskonstanten
Die Gravitationskonstante Newton
FG = G
G = Gravitationskonstante
G = 6,6719x10-11 m³/(kg s²)
M1 und M2 = Massen der Körper
r = Abstand zwischen den Körpern
Gravitationsgesetz gilt hier auf der Erde und überall im Kosmos – auch im Sonnensystem gegen Aristoteles!
M1M2
r2
Das Cavendish Experiment (1798) G
Das Gravitationsfeld
Gravitationsfeld überträgt die Kräfte zwischen den Körpern eine Eigenschaft
des Raumes wie Magnetfeld oder el. Feld.
Feldstärke = Beschleunigung:
g = GM / r2
Diese Feldstärke hängt nicht von der Masse M2 des Probekörpers ab. Die Kraft beträgt:
GM1M2/r2 = M2g = FG = Fw
Gravitation ist für Gewicht verantwortlich.
Die Gravitative Feldstärke
Die Masse der Erde beträgt 6,0x1024 kg und ihr Radius 6378 km. Wie groß ist die gravitative Feldstärke an der Oberfläche der Erde?
g = GM/R2
g = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(6,0x1024 kg) / (6,378x106 m)2
g = 9,81 m/s2
Ein Planet habe den Radius 3500 km und eine Oberflächen-gravitation von 3,8 m/s2. Wie groß ist die Masse des Planeten?
(3,8 m/s2) = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(M) / (3,5x106 m)2
(3,8 m/s2) = (6,67x10-11 Nm2/kg2)(M) / (1,2x1013 m2)
M = (4,6x1013 m3/s2) / (6,67x10-11 Nm2/kg2)
M = 6,9x1023 kg
Max Camenzind 11.06.2016
Jeder Raumpunkt trägt ein Feld Gravitationsgesetz
Newtonsche Bewegungsgleichung
gleichsetzen
Feldstärke
3
12
122112
rr
rrK
mGm
Kr 22m
3
QP
QP
QPQ Gmrr
rrrg
2 12 1 3
2 1
Gm
r rr
r r
2
mN kg
s
2
m
s
2
m
s
Was Newton nicht wusste
Newton wusste nicht, was Gravitation erzeugt, obschon er erkannte, dass alle Körper auf Gravitation reagieren.
Für Newton war Gravitation einfach eine Eigenschaft von Körpern.
Newton konnte auch nicht erklären, wie Körper Gravitation erzeugen, wenn sie sich nicht berühren Der Feldbegriff fehlte damals noch!
Er liebte die Idee “action-at-a-distance” nicht.
Die Newtonschen Bewegungsgleichgn
Das Zwei-Körper-Problem
Diese Gleichungen sind in dieser Form auch für 2 Körper nur numerisch lösbar!
X X
X
Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der Newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen. Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, einfach formulieren lassen.
Lagrange Extremalprinzip
Euler-Lagrange-Gleichungen
Kinetische minus potenzielle Energie
Extremalprinzip Wirkung I = ∫ L dt:
• Bewegungsgleichungen resultieren
aus Extremalprinzip für den Lagrange (1788)
),(),(),,( qqqqq tVTtL
0
LL
dt
d
Herleitung Euler-Lagrange Für Mathematisch Interessierte
Variation des Wirkungsintegrals
Partielle Integration
Endpunkte werden fest gehalten.
Alle Koordinaten sind unabhängig:
Dies sind die Euler-Lagrange-Gleichungen für ein System von N Massen, j = 1,…,3N.
October 21, 2010
Newtonsche Mechanik • Wir betrachten ein Teilchen mit Masse m in 2 Dimensionen, in Kartesischen
Koordinaten (x,y), mit potenzieller Energie U(x, y), der Lagrange
• In diesem Fall ergeben sich 2 Lagrange-Gleichungen
• Die linke Seite entspricht der Kraft
• Die rechte Seite der Beschleunigung
• Beide Seiten ergeben das Newtonsche Bewegungsgesetz in Vektorform
).,()( 22
21 yxUyxm L
. ,ydt
d
yxdt
d
x
LLLL
. , yx Fy
U
yF
x
U
x
LL
. , ymymdt
d
ydt
dxmxm
dt
d
xdt
d
LL
.oder , aF mymFxmF yx
Das 2-Körper-Problem
• Der Lagrange des Systems in Kartesischen Koord:
• In dieser Schreibweise sieht das Problem nicht sehr
angenehm aus: alle 6 Koordinaten sind im Potenzial
vermischt.
• Wir suchen eine einfachere Formulierung:
3
1
2
21
3
1
2
1
2
)(2
)(
i
ii
i j
ijjrrV
rmL
2
21
2
22
2
11 )(2
)(
2
)(rrV
rmrm
Schwerpunkt-Koordinaten
r2
r1
Sonne
Planet
S
on
ne
nb
ew
eg
un
g
u
m S
ch
werp
un
kt
+
220 km/s
220 km/s
Gal Orientierung Sonnensystem
Galaktisches Zentrum
Ekliptik
Ebene
Galaktische Scheibe
Rotation um
Zentrum
Galaktisches Zentrum
Kepler-Gesetze nach Newton
Kepler-Gesetze beweisbar?
Kinetische Energie & Potenzial
Massenmittelpunkt & CM Koordinaten
• Dazu führen wir relative Koordinaten ein:
• R Massenmittelpunkt
•
•
21
221121 ;
mm
rmrmRrrr
21
12
21
21
mm
rmRr
mm
rmRr
2
21
12
2
2
21
22
1 )(;)(
mm
rmRr
mm
rmRr
r1
r2
Lagrange in CM-Koordinaten
• Einsetzen und ausrechnen:
2
21
2
22
2
11 )(2
)(
2
)(rrV
rmrmL
2
2
21
12
2
21
21
)(22
rVmm
rmRm
mm
rmRm
rVmm
rmm
mm
rRmmRm
mm
rmm
mm
rRmmRm
2
21
2
12
21
21
2
2
2
21
2
21
21
21
2
1
)(2
2
)(
)(22
)(
2
))(( 2
21 Rmm
rV
mm
rmm
)(2
)(
21
2
21
Bewegung des Schwerpunktes
• Der Lagrange in den neuen Koordinaten:
• Potenzial hängt nicht von CM ab!
• Die Euler-Lagrange-Gleichungen implizieren
Bewegung des Schwerpunktes
• Totaler Impuls des Systems P = MV ist erhalten:
Bewegungsintegral CM bewegt sich linear.
rVmm
rmmRmmL
)(2
)(
2
))((
21
2
21
2
21
ii R
L
dt
d
R
L
const
R
L
i
iRmm )( 21 iP
Das Reduzierte 2-Körper-Problem
• Der Lagrange in CM-Koordinaten:
• Umeichung des Lagrange
• konstanter Term ist nicht relevant.
rVmm
rmmRmmL
)(2
)(
2
))((
21
2
21
2
21
rVmm
rmm
mm
P
)(2
)(
)(2
)(
21
2
21
21
2
rVmm
rmm
mm
PLL
)(2
)(
)(2
)('
21
2
21
21
2
Das Reduzierte 2-Körper-Problem
• Der neue Lagrange:
• Damit haben wir das ursprüngliche 2-Körper-
Problem auf ein 1-Körper Problem in einem Zentral-
potenzial (Potenzial, das nur vom Abstand r zwischen
den Körpern abhängt) reduziert.
• m = µ = m1m2/(m1+m2): reduzierte Masse
• Anzahl Freiheitsgrade nur noch: 3
• Dimension des Phasenraumes: 6
rVmm
rmmL
)(2
)('
21
2
21 rVrm
2
)( 2 21
21
mm
mmm
Sphärische Koordinaten
• Zentralpotenzial ist sphärisch symmetrisch
• Günstig in sphärischen Koordinaten zu arbeiten
cos ;sinsin ;cossin rrrrrr zyx
)(2
) sin('
222222
rVrrrm
L
222
2222
2
)(
2
)(' zyx
zyxrrrV
rrrmrV
rmL
Sphärische Symmetrie Referenzebene
• Die Euler-Lagrange-Gleichung für φ
• Die φ Koordinate ist zyklisch:
• Da das System sphärisch symmetrisch ist, haben wir
eine Freiheit in der Wahl des Referenzsystems.
• Wir wählen dies wie folgt: die Anfangsgeschwindigkeit
liege in der Ebene φ = const
•
)(2/) sin(' 222222 rVrrrmL
0''
LL
dt
d constpmr
L
sin' 22
22 sin
mr
p
0 0 0 p 0
Drehimpulserhaltung in der -Ebene
• Euler-Lagrange Gleichung für θ
• Die θ Koordinate ist ebenso zyklisch.
• Der entsprechende Impuls zur θ Koordinate
• Drehimpuls in der Bewegungsebene relativ zum
Ursprung ist erhalten
)(2/) sin(' 222222 rVrrrmL
constmr 2
0''
LL
dt
d
constJrprmvrmrmr 2
Lp
Das Effektive Potenzial
• effektives Potenzial
• Die totale Energie hängt effektiv nur von einer
Koordinate ab, der Koordinate r.
• Damit reduzierten wir das 2-Körper-Problem auf ein
1-Körper-Problem eines Teilchens mit reduzierter
Masse m im effektiven Potenzial Veff(r).
• Anzahl Freiheitsgrade: 1
• Dimension des Phasenraumes: 2
Da 2 Erhaltungsgrößen existieren, totale Energie E
und Drehimpuls J, ist das Problem integrabel !
)(2
2 2
22
rVmr
p
m
pE r constJp
)(2
)(2
2
rVmr
JrVeff
Die totale Energie E im reduzierten 2-Körper-Problem
Das effektive Potenzial
Veff(r)
Abb.: Effektives Potenzial Veff(r) bei der Bewegung
in einem Zentralfeld
ungebunden
gebunden
E = 0 Parabelbahn
Das effektive Potenzial
rmin
Die Radiale Bewegungsgleichung
• Energieerhaltung: totale Energie ist erhalten
)(2
2 2
22
rVmr
p
m
pH r
0
t
H
dt
dH EconstH
E
)(
22
2
2
rVmr
pEmpr
rmr
Lpr
'
Die Bahngleichung nicht lösbar als f(t)
)(
2
2
2
2
rVmr
JE
mr
)(2
2
2
2
rVmr
JE
m
drdt
2
mr
J
J
dmrdt
2
)(2
2
2
2
2
rVmr
JE
m
dr
J
dmr
• Diese Bahngleichung kann integriert werden für
Potenziale der Form (sog. Potenzgesetze)
Falls n = 2, - 1, - 2, kann das Integral als
trigonometrische Funktion ausgedrückt werden.
• Falls n = 6, 4, 1, - 3, - 4, - 6, kann das Integral als
elliptische Funktion ausgedrückt werden.
r
rrV
mr
JEmr
drJ
0 )(2
2
2
22
0
narrV )(
Die Bahn-Anomalie als Func(r)
Das Kepler-Problem
• Kepler Potenzial:
• beschreibt gravitative und elektrostatische
Wechselwirkung
• Attraktiv:
• Repulsiv:
• Integral:
r
k
mr
JEmr
Jdr
2
22
0
22
Johannes Kepler
(1571-1630)
1)( rrV
0;)( 21 mGmkr
krV
0;)( kr
krV
Das Kepler-Problem - Integration
• Betrachten wir ein attraktives Potenzial:
• Integraltafel
0
)(
k
r
krV
2
22
0
22
mr
J
r
kEmr
Jdr
ur
1
22
0
/)(2
uJkuEm
du
4
2arccos
22
u
uu
du
2
2
J
mE
2
2
J
mk
Das Kepler-
Problem
2
2
2
2
0
24
2
22
arccos
J
mE
J
mk
J
mku
2
2
2
0
21
1
arccos
mk
EJ
km
uJ
Das Kepler-Problem – arccos
invertieren
ru
1
km
uJ
mk
EJ 2
02
2
)cos(2
11
rmk
EJ
J
km 1 )cos(
211 02
2
2
Das Kepler-Problem – radiale Lösung
• Damit haben wir die radiale Bahnform erhalten,
parametrisiert durch totale Energie E und Drehimpuls.
• Abhängig von den Konstanten C und e nimmt die
Form der Bahn verschiedene Gestalt an. e < 1, falls
E < 0, d.h. für gebundene Bahnen! e = 0 Kreisbahn.
• Für ein positives C (Attraktion) repräsentieren die
Bahnen Kegelschnitte: Ellipsen, Parabel und Hyperbel.
)cos(
211
102
2
2
mk
EJ
J
km
r
)cos(1 1
0 eCr
pCJ
km/1
2
emk
EJ
21
2
2
Polarform: r() = p/(1 + e cos())
p
Gebundene Bahnen sind Ellipsen
• Falls
• ist reell und ist positiv.
• Der Orbit ist eine Ellipse mit Fokus verschoben vom
Ursprung um und zwei Hauptachsen und
• Parameter p = 1/C semilatus rectum
10 e
21 e
1
22
0
b
r
a
rr yxx
be
p
21
2b
ba0xr
ae
p
21p
ea
Ellipsengleichung
Kartesisch a = 3
b = 2
e = ?
p = ?
Fokalpunkte = ?
Polargleichung r = ?
x
y
Gebundene Bahnen E < 0 Ellipsen
• Ellipse: Pendelbahn zwischen
2 Radien
10 e 12
102
2
mk
Ep 02
2
2
Ep
mk
2
2
min2
)(p
mkrVeff
0)( min ErVeff
1
22
0
b
r
a
rr yxx
Perihel
Aphel
Aphel
Die Exzentrizität der Kepler-Bahn
• Der Parameter e ist die Exzentrizität der Ellipse
• Für konstante Energie nimmt Perihel
ab mit zunehmender Exzentrizität
1
22
0
b
r
a
rr yxx
ae
p
21b
e
p
21e
a
ba
22
021xr
e
ep
e
pra x
10
p
Anhang: Geometrie der Kepler-Bahnen
• Falls )cos(1 1
0 eCr
0e
r
rer
C
x1 1
xerr
r
rx )cos( 0
xerC
r 1
2222 2 xx reperpr 22
yx rr
xerp
2222 2)1( prperre yxx
Anhang: Geometrie der Kepler-Bahnen 2
• Falls 1e
1 1
1
1 2
222
2
22
yx r
p
e
e
epr
p
e
be
p
21021
xre
ep
1
22
0
b
r
a
rr yxx Ellipsengleichung
ae
p
21
Geometrie der Kepler-Bahnen e = 0
• Effektives Potenzial:
• Im Falle
• Kreisbahn
0e
r
k
mr
JrVeff
2
2
2)(
)cos(1 1
0 eCr
Cr
1
Cr
1
0)(
21
2
2
GmMm
EJe 2
2
2J
mkE
2
2
min2
)(p
mkrVeff
)( 0rVeff
1e
21 e
1
22
0
b
r
a
rr yxx
be
h
212b
1 '
22
0
b
r
a
rr yxx
'ibb
Geometrie der Kepler-Bahn e > 1
•
• Dann ist imaginär und ist negativ
• Die Bahn ist eine Hyperbel.