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Universität für Bodenkultur WienDepartment für Bautechnik und Naturgefahren
Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau
Baustatik & FestigkeitslehreVorlesung & Übung
Vortragender:O.Univ.Prof. DI Dr. Dr. Konrad Bergmeister
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Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau
Ziel der Vorlesung
Vermittlung von Rechenverfahren
§ für Kraft- und Verschiebungsgrößen
§ Tragverhalten von Tragwerken
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Organisation
B & F - LehreWS
VorlesungTheoretische Grundlagen der Baustatik und Modellierung von Systemen
ÜbungRechenbeispiele begleitend zur Vorlesung
PrüfungenWS
Hauptprüfung (schriftl.)
3 Übungstests
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Literaturvom Institut
Vorlesungs- und Übungsskript
Lehrbuchsammlung BOKU Bibliothek
Mang, Hofstetter: FestigkeitslehreParkus: Mechanik der festen KörperPopov: Engineering Mechanics
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1. Aufgaben und Ziele
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Mechanik
KinetikStatik
DynamikKinematik
Begriffsdefinition
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Aufgaben der Statik
EntwurfBauerkstypQuerschnittsformMaterial (Stahl / Beton)
Statikstatisches System=> INNERE KRÄFTE
BemessungQuerschnittswerteAnschlüsse, ect.
AusführungBauvorgang, MontageBaustelleneinrichtungMaterialtransport, ect.
MODELLBILDUNG
Statik ein Teil der gesamten Ingenieuraufgabe
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AnwendungsbeispieleBrückenbau (Tiefbau)
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Wohnhäuser, Hochhäuser(Hochbau)
Anwendungsbeispiele
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Industriebau, Hallen, Bürogebäude
Anwendungsbeispiele
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Konstruktiver Wasserbau
Anwendungsbeispiele
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Siedlungswasserbau Wasserversorgung
Anwendungsbeispiele
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Siedlungswasserbau AbwasserentsorgungAnwendungsbeispiele
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Statik - Computerstatik
Computergläubigkeitgenauere Modellierung möglich
Hang zum unnötigen Aufwand und unzweckmäßigen Einsatzgrößere Systeme berechenbar
Datenüberfluss(„Zahlenfriedhof“)Schnelligkeit
Schwierige BeurteilungBlack-Box-Prinzip häufig einfacher
NachteileVorteile
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Einheiten
N/mm² ( = MN/m² oder MPa)Spannungen & Festigkeiten
cm² [1m² = 104 cm²]Bewehrung
mLänge
kNmMomente
kN/m³Wichte
kg/m³Dichte
kN, kN/m, kN/m² Kräfte und Lasten
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Eurocodes (EC)
EUROCODE ÖNORM
EC1 Grundlagen der Tragwerksplanung und Einwirkungen auf Tragwerke ÖNORM ENV 1991
EC2 Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken ÖNORM ENV 1992
EC3 Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten ÖNORM ENV 1993
EC4 Bemessung und Konstruktion von Verbundtragwerken aus Stahl und Beton ÖNORM ENV 1994
EC5 Bemessung und Konstruktion von Holzbauten ÖNORM ENV 1995
EC6 Bemessung und Konstruktion von Mauerwerksbauten ÖNORM ENV 1996
EC7 Entwurf, Berechnung und Bemessung in der Geotechnik ÖNORM ENV 1997
EC8 Auslegung von Bauwerken gegen Erdbeben ÖNORM ENV 1998
EC9 Bemessung und Konstruktion von Aluminiumbauten ÖNORM ENV 1999
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Empfohlenes Schrifttum
Statik der StabtragwerkeSpringer- Verlag, Berlin, 1978Pflüger, A.:
Technische Mechanik, Band 1 & 2Bibliographisches Institut, Zürich
Pestel, E.:
Lehrbuch der Statik, Band 1A & 1BSpringer- Verlag, Berlin
Sattler, K.:
Die Statik der Bauwerke W.Ernst & Sohn 4. AuflageKirchhoff, R.:
Baustatik; Teil 1 und 2Springer- Verlag, Berlin, 1969Hirschfeld, K.:
Klassische Statik - Literatur
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2. Idealisierung der statischen Aufgabe
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SystemidealisierungPlattenbalkenträger
Hohlkörperdecke
7,80
3,40
1,80
Gabellagerung
Fundamentplatte
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Systemidealisierung
Zur Systemidealisierung gehört die Festlegung
1. des statischen Systems
2. der äußeren Lasten und Lastfälle
3. der Materialkennwerte
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Gliederung nach geometrischen und statischen Gesichtspunkten (1D – 3D Tragelemente)
Tragwerke
F lächentragwerke
2D
gekrüm m t eben
MembranSchale
ScheibePlatte
Fa ltwerk
3D
Raumtragwerke
"dicke" Körper
FundamentDamm
dicke Behälter
2D
Stabtragwerke
gekrüm m t gerade
R ingBogen
Seil
ZugstabDruckstab
Fachwerk
Balkenrahmen
Trägerrost
yl
xl zl
xy
z xy
zh
xy
zyl
xl
,x yh l l<<
x
yz
h
b
b
h
xy
z
, xb h l<<
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Prinzip von de St. Venant
Störbereiche
P
PP
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Gliederung nach der Beanspruchungsart
Dehnung
StabFachwerk
SeilBogen als Stützlinie
Stabtragwek
Rahmen
Biegung(+Schub)
eben
ebernerBalken
räumlich
TorsionDrillung
räumlicher BalkenTrägerrost
Flächentragwerke
MembranScheibe Platte
FaltwerkeSchale
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Komponenten eines Stabtragwerkes
P
Elemente
1q2q
3q
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ArchitektonischeAnforderung
Systemidealisierungder Bodenplatte
WandscheibeSystemidealisierungVariante 1
SystemidealisierungVariante 1
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Vorgangsweise bei der Idealisierung
Idealisierung des Tragwerkes und seiner Konstruktionsdetails
Idealisierung der Belastung
Beschreibung der Idealisierung und Angabe der für die Berechnung maßgebenden Größen(Systemmaße, Laststellung, Werkstoffe, etc.)
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Idealisierung von KonstruktionsdetailsRollenlager
Linienkipplager
Elastomerlager
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Idealisierung von Tragwerken
STAB FLÄCHENTRAGWERK
1l
2l
d
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Idealisierung von Lasten
Verteilung der Last
KRANRAD
( )2
1
s
s
R p s ds= ∫
R1s 2s
ds
( )p s
Einzellast
Resultierende
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STATIKGleichgewichtsbedingungen und statische Randbedingungen. Sie werden bei Stab-
und Flächentragwerken bereits in Schnittgrößen definiert.
WERKSTOFF
Beziehungen zwischen Schnittgrößen (allg. Spannungen) und Dehnungen bzw.
Krümmungen der Achsen (allg. Verzerrungen). für den elastischen
Fall auch als Elastizitätsgesetz bezeichnet (oder konstitutive Beziehungen).
GEOMETRIE
Beziehungen zwischen den Dehnungen bzw. Krümmungen und Verschiebungen sowie geometrische Randbedingungen.Auch als Verträglichkeitsbeziehungen
oder kinematische Gleichungen bezeichnet.
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§ Dehnung:Normalkraftanteil, Dehnung ε§ Biegung: Biegemomentenanteil, Krümmung κy, κz
§ Schub: Querkraftanteile, Schubverzerrungen γxy, γyz
§ Torsion: Torsionsmomentenanteile, Verdrillung Γ; für St. Venant Torsion (Wölbkrafttorsion nicht enthalten).
Idealisierung von Lasten
. yz TTyT zT
TT bzwh b
αακ κ⋅∆⋅∆= =
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Reichsbrücke- Wien 1976
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Grundgleichungen: räumlicher Fall x-Richtung
Dehnung Torsion
y-Richtung Biegung Schub
z-Richtung Biegung Schub
Statik
ndxdN
−=
TT m
dxdM
−=
yy
dVv
dx= −
zz m
dxdM
−= yV−
zz
dVv
dx= −
yy m
dx
dM−= zV+
Werkstoff
Τ+ΕΑΝ
= Ταε
Τ
Τ
Ι=Γ
GM
( ) bE
MM yT
yzzý
zYyyzz
∆Τ+
Ι−ΙΙ
Ι+Ι=
ακ
²
yxy
Q y
V
GαΥ =
Α
( ) hE
MMzT
yzzý
zyzyzy
∆Τ+
Ι−ΙΙ
Ι+Ι=
ακ
²
zxz
Q z
VGα
Υ =Α
Geometrie
ε−=dxdu
Γ=dxdϑ
zz
dxd
κϑ
=
zdxdv
ϕ= xyΥ+
yy
dx
dκ
ϑ=
ydxdw
ϕ= xzΥ+
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Grundgleichungen: ebener Fall (Indizes y und z weggelassen)
x-Richtung Dehnung
z-Richtung Biegung Schub
Statik
ndxdN
−=
mdx
dM−=
dV
vdx
= −
V+ Werkstoff
Τ+ΕΑΝ
= Ταε
h
EM
T ∆Τ+
+Ι
=
α
κ
V
VGα
Υ =Α
Geometrie
ε=dxdu
κ
ϑ=
dxd
ϕ−=dxdw
xzΥ+
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Stat. Größen (Kraftgrößen)
Geom. Größen (Weggrößen)
innere
Größen
NVM
0 0
0 00 0
VGαΕΑ
Α ΕΙ
κγε
−
−
dxd
dxd
dxd
10
00
00
dxd
dxd
dxd
00
10
00
äußere Größen
nvm
ϕwu
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Differentialgleichungen für wichtige Sonderfälle (Elimination der Schnittgrößen und Verzerrungen)
Dehnung (ohne T)
Statik Werkstoff Geometrie
=ΕΑ
=
−=
ε
ε
'
'
u
NnN
( ) nu −=′′⋅ΕΙ
Gerade Biegung (ohne ),γ∆Τ
Statik Werkstoff Geometrie
M v mM
w
κ
κ
′′ = − − = ΕΙ
′′ = −
( )w v m″′′ ′ΕΙ ⋅ = +
Torsion
Statik Werkstoff Geometrie
Γ=′
=Γ
−=′
ϑT
T
TT
GIM
mM
( ) TT mG −=′′⋅Ι ϑ
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Rechengenauigkeit
Ursachen für das Abweichen der Ergebnisse von der Wirklichkeit
Vereinfachende Annahmen (Einspannungen, Steifigkeiten, Systemachsen,
Größe von Ausmitten, etc.)Ansätze von Einwirkungen
fehlerhaft od. unvollständigVoraussetzungen für Berechnungstheorien
verletztAngenommenen Werkstoffkennwerte
teilweise Übereinstimmung mit tatsächlichem BaustoffBelastungskombinationen
zu wenig Lastfälle überlagertStatische Berechnung ungenau oder falsch
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SystembildungStütze - Platte (zb.:Bodenplatte)
Mittellinie
Rechengenauigkeit
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Wirkliches Verhalten
Mittendurchbiegung
P
l
Stahlbetonbalken
Last
P
*P
l
Stahlträger16
P16
P23
P
*...P Gebrauchslastbereich
...lineaisiertes Tragverhalten− − −
Last
P
*P
Horizontalverschiebung Punkt i
Punkt i
6P
6P
Meist ein stark nichtlineares Verhalten gegeben
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Tragwerksantwort ist geprägt vom Einfluss :
Des Werkstoffverhaltens materielle Nichtlinearität
Der Verformungsgeometrie geometrische Nichtlinearität
Möglicher Systemänderung Systeme veränderlicher Gliederung
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Werkstoffverhalten –in der Regel hochgradig nichtlinear
55B
SSpannung σ
[ ]/SDehnung ε
CεCσ
45B
35B25B
2N
mm
kaltverformtwarmverformt
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Werkstoffverhalten –in der Regel idealisiert
σ
ε
Eσ ε= i
σ
ε(a) linear elastisch (b) nichtlinear elastisch
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σ
ε
σ
εplε elεplε elε
(c) linear elastisch ideal plastisch
(d) nicht linear elastisch m it linearer Verfestigung
Werkstoffverhalten –in der Regel idealisiert
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Verformungstheorie –Forderung des Gleichgewichts am verformten System
Line
ares
Ver
halte
npλi pλi pλiu
u
λ
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Verformungstheorie –Mögliche Verfahren
beliebig groß
endlich, klein
infinitesimal klein
III. Ordnung
II. Ordnung
I. Ordnung
Verformungen Stabtheorie
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Systeme veränderlicher Gliederung –Systemänderungen
M
P
l/2 l/2
w∆
a b
P
M
+ -o
P
w
V V
P
w
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Systeme veränderlicher Gliederung –Systemänderungen
w
g
l ll l
w
xl 2l 3l 4l
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Definitionen
Flexibilität = Verschiebung/EinheitskraftSteifigkeit = Kraft/Einheitsverschiebung
EIP
F
P
{31
3F
lw P
EI=
{3
3
K
EIP w
l=
l
w
K
1
1
w
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DefinitionenDer Begriff Robustheit definiert die Gesamtstabilität eines Tragwerkes hinsichtlich eines plötzlichen Versagens.
Dehnsteifigkeit E • A
Biegesteifigkeit E • I
Schubsteifigkeit G • αQ •AαQ Schubreduktionsfaktor
Torsionssteifigkeit (St. Venant) G • IT
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Einheitskraft-zustände
1 1,M ϕ2 2,M ϕ
1 1M = 11f 21f
1 11 12 1
2 21 22 2
*
f
f f Mf f M
ϕϕ
=
64748
2 1M =
12f 22f
Elementsteifigkeitsmatrix
1 11 12 1
2 21 22 2
*
k
M k kM k k
ϕϕ
=
64748
Einheitsverschiebungs-zustände
11k
1 1ϕ =
12k
2 1ϕ =
12k22k
Definitionen
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1 11 12 1
2 21 22 2
*
F
r F F Pr F F P
=
64748
1 1P =
1P 2P
1r 2r
Systemflexibilitätsmatrix
geometrischeBeziehung
1P
11F 21F 12F 22F
2 1P =
Definitionen
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1 11 12 1
2 21 22 2
*
K
P K K rP K K r
=
64748
1 1r =
Systemsteifigkeitsmatrixstatische
Beziehung
11K21K
12K22K
2 1r =
Definitionen
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Element
Kraftgrößen
v = f . SWERKSTOFF
S = k . vS v
Verschiebungsgrößen
GEOMETRIESTATIK
System(Knoten) P
r = F . PP = K . r
r
Definitionen
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Theorie 1. Ordnung
Geometrie
1. •Das Tragwerk besteht aus einzelnen Stäben, deren Länge groß gegenüber den Querschnittabmessungen ist.
2. •Die Querschnitte bleiben bei der Verformung eben und stehen senkrecht zur Stabachse. Die Profilquerschnitte behalten während der Verformung ihre ursprüngliche Form bei.
3. •Die Verformung ist so klein, dass das Gleichgewicht am unverformten System angesetzt werden kann.
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Theorie 1. Ordnung
Material
1. •Die Spannungen sind proportional zu den Dehnungen. Das Hook´sche Gesetz ist unbeschränkt gültig.
2. •Es wird isotropes, homogenes und vollelastisches Material vorausgesetzt.
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Theorie 1. Ordnung
Belastung
1. • Alle Belastungen werden statisch wirkend angenommen, das heißt, die Belastung ist vorwiegend ruhend. Dynamische Einflüsse werden durch einen Schwingbeiwert zur statischen Belastung berücksichtigt.
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Theorie 1. OrdnungSuperposition
P1 P2
M(P1)
M(P2)
M(P1)+M(P2)==M(P1+P2)
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Arten statischer SystemeStatisch unterbestimmtes System
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Arten statischer SystemeStatisch bestimmtes System
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Arten statischer SystemeStatisch unbestimmtes System
ZusätzlichesAuflager
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Zweck des Tragwerkes
AUFLAGERKRÄFTE
Das Tragwerk hat die Aufgabe, die einwirkenden Lasten in den Unterbau bzw. den Boden zu übertragen. à STÜZUNG
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Arten von Auflagern
yF
xF
M
yF
yF
xF
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Arten von Auflagern –Systembildung
000
uvϕ
==≠
Vertikalbolzen
000
uvϕ
=≠≠
Mörtelbett
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Lager Gelenk
Symbol Symbola N Q M z
1
2
3
1
2
3
0 0 0 0
0 0 x
x 0 0
0 x 0
x x 0
0 x x
x 0 x
x x x
0 Null; x verschieden von Null
Arten von Auflagern –Symbolische Darstellung von Lagern & Gelenken
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Generelle Anforderungen an Modellabbildungen
Beanspruchungen sind von Angriffsstellen durch das Bauwerk in die Gründung zu verfolgen
Für alle Teilbereiche sind die Lasteinflüsse in ungünstigst denkbarer Kombination zu ermitteln
Einstellenden Verformungen müssen für mechanisches Konzept und bauphysikalische Funktionalität vertretbar sein
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Klassifizierung von Modellabbildungen
Klasse I Klasse II Klasse III Klasse IV Klasse V
0%
Ca. 50% des Bauwerkes müssen als große Bau- teilbereiche, als komplexe Gesamtheiten bearbeitet werden.
Ein alle Bereiche zusam- menfas- endes und verkop- pelndes Modell.
100%
Kom
plex
e G
anzh
eitli
chke
it
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Klassifizierung von Modellabbildungen
100% Das Bau- werk wird in viele Einzelteile zerlegt, für die nur losgelöste Einzel- betrach- tungen erforderlich sind.
Ca. 50% des Bauwerkes lassen sich als losgelöste Einzelbau- werke bear- beiten.
0%
Ein
zelb
aute
ile
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Beispiele für die Grundstruktur von Modellabbildungen
ϕ
Verschiebung,z.B. Fahrbahnübergang
erf. Freiraum
erf. Freiraum
Schwerachse
Lagerverschiebung
Verschiebung aus Trägerverdrehungen am
Endauflager
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Beispiele für die Grundstruktur von Modellabbildungen
ϕ
kMkF
kF
iF
iFiM
=∞ statt
kM
iM
Modellabbildung für die Verbindungen von Bauteilen mit
großer Bauhöhe
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Systemlinieq
1l 1l2l
Beispiele für die Grundstruktur von Modellabbildungen
H a u p tträ g e r
Q u e rträ g e r
D u rch lauf t räger
Trägerrost aus torsionsweichen Trägern
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Trägerrost aus torsionssteifen
Trägern
Beispiele für die Grundstruktur von Modellabbildungen
Ebene des Systems der Rechnung
Ebene des Systems der Rechnung
Plattenstreifen als Querträger
beidseitig eingespanntes Bauteil
Zweiseitig eingespannterPlattenstreifen
Universität für Bodenkultur WienDepartment für Bautechnik und Naturgefahren
Baustatik und Festigkeitslehre - WS 04/05 - Institut für Konstruktiven Ingenieurbau
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Behälter –Fugen
>= 5mm>= 1
5mm
Wassersperre
Druckminderungskammer
Windschutz
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Behälter Schnitt
Draufsicht
Setzungsmulde aus innerer Flüssigkeitsfüllungfür membrandünne Sohle
Setzungsmulde aus äußerer Bodenaufschüttungfür membrandünne Sohle
Kreiszylindrische Behälter
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zx
h
x
y
r
P
nϕ
...
0z
P hn P r Kesselformel
nϕ
γ= ⋅= ⋅
=
Behälter
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Behälter
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Brücken
•Überbau•Unterbau•Widerlager•Zwischenpfeiler•Lager
Boden BodenBoden
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Hallenbauten•kinematisch standsicher•Bemessung mit geringen Aufwand•Redundantes – robustes System
l l
1, zF2, zF 3, zF
BODENϕ
absolute Setzungrelative Setzung
absolute Setzung
1, 1, 0, 4z zF F l g= ⋅ ⋅∼2, 1, 2zF l g⋅ ⋅∼
Übliches statisch unbestimmtes System der Ortbeton- Ausführung mit guter Redundanz
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Statisches System mit geringer Redundanz
1,zF2,zF 3,zF
Hallenbauten•kinematisch standsicher•Bemessung mit geringen Aufwand•Redundantes – robustes System
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der RealitätgerechtwerdendeModellabbildung
e
BODENs∆
BODENϕ∆
unzureichendeModellabbildung
e
reales Verhaltene
simulieren desrealen Verhaltens
, , uE A l
N
M
ϕBODENs∆
ul
13Boden u Boden u
N Ms
E A E Iϕ∆ = ∆ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅l l
Hallenbauten
Rechenmodell einer Stütze mit elastischer Fundamentverdrehung
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Fundament unter ausmittiger Belastung
eN
3[ / ]bc MN m
1b
1P2P
2P
Bodenpressung
Bodenpressung beiklaffender Sohlfuge
21 2 bb b cN
ϕ ⋅ ⋅ ⋅
Hallenbauten
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Momenten-Verdrehung- Beziehung für ein Fundament2P
0,1 0,2 0,3 0,41/6 1/3
2
4
6
10
8
Sohlfuge klafft zur Hälfte
Sohlfuge beginnt zu klaffen
21 2 bb b cN
ϕ ⋅ ⋅ ⋅
1
eb
1b
1 / 2b eN
ϕ
lSrS
Hallenbauten
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Hallenbauten –Dacharten
Fi
lcol 1 lcol 2
lcol i
F1 F2F
lcol
Kc
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Hallenbauten –Dacharten
s u
s o
s
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Hallenbauten –Dacharten
h
ll
s
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Hallenbauten –Dacharten
No
Nu Nu
No
s us o
s u
s o
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Hallenbauten –Dacharten
su
so
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Hallenbauten –Dacharten
su
so
s 1s 2
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Hallenbauten –Dacharten
s
h
0,65s0,
65h
KrKr
15°
J0,N0
J, N
l
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Hallenbauten –Dacharten
Gurtstab
Füllstab
s
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Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Sparrendach mit und ohne Kehlbalken
2 diagonale Windrispen
Firstholz
N,M,V
großeHorizontalkraft
großeHorizontalkraft
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Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Bewegungsmöglichkeiten in der Dachkonstruktion für Sparren
uhoh
1l 2l
Situation im Stützpunkt der Pfette
Situation zwischen den Stützpunkten der Pfette
Pfette
PFETTEPFETTE zf u=
FIRSTzu
Pfette
First
2 FIRSTxu⋅
PFETTExu
Drehpoleinzig m
ögliche Bewegung
zu
xu
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Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Mittelpfette
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Dachkonstruktionen für Wohngebäude –Sparren im kombinierten Sparren- Pfettendach
wie Sparrendach
U-Profil
Stahlstütze Stahlbetonstütze
0?yϕ =0?zu = 0?yϕ =
0?zu =
18d
cm∼
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Ausschluss der Beweglichkeit von Strukturen und Systemen
Die Scheibe
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D = Druckrand; F = äußerer Lastangriff; S = Stützwirkung der vertikalen Scheiben
Kraftfluss in einer Scheibe- druckweiches und zugfestes Material;drucksteife Randausbildung
D
D D
DD
D
DD
S
S
S
F F
Zugdiagonale
Druckstrebe
DruckstrebeDru
ckst
rebe
Dru
ckst
rebe
Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur
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Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur
Kraftfluss in einer Scheibe- druckweiches und zugfestes Material;drucksteife Randausbildung
D = Druckrand; F = äußerer Lastangriff; S = Stützwirkung der vertikalen Scheiben
Z
Z Z ZZ
ZZZS
S
S
F FDruckdiagonale
Zugstrebe
ZugstrebeZug
stre
be
Zug
stre
be
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Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur
Kraftfluss in einer Scheibe- druckweiches und zugfestes Material;drucksteife Randausbildung
D = Druckrand; F = äußerer Lastangriff; S = Stützwirkung der vertikalen Scheiben
Z Z ZZ
ZZS
S
FDruckdiagonale
D D
DD
DD
S
F
Zugdiagonale
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Aussteifung eines Geschosses- Verschiebungen ux, uy, und phi zeiner Geschossebene
Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur
Geschossdecke= Platte
zϕ
yuxu
Platte :Belastungnormal zurEbene
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Aussteifung eines Geschosses- Verschiebungen ux, uy, und phi zeiner Geschossebene
Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur
Scheibe Scheibe :Belastungin Ebene
Auflager
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Aussteifung eines Geschosses- Kippen von Trägern-Querträger- Gabellagerung in der Lagerlinie
Kinematische Untersuchung von Scheiben als Element der Bauwerksstruktur
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1. Stufe - vernachlässigbare Trägerhöhe
Deckenscheibe
Wandscheibe
2. Stufe - Berücksichtigung der Höhe der Deckenträger
Deckenscheibe
oder QuerträgerGbellagerung
Lagerlinie
3. Stufe - Maßnahmen gegen Biegedrillknicken der Deckenträger
biegesteifer Querträger im Feld
Aussteifung eines Geschosses in drei Stufen
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Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren VerformungenAnschluss der Querkraft eines Kehlbalkens an einen „biegesteifen“ Sparren
ke
zV
sN
vertikaler Schnitt
zV zZ
D
M
/z kM V e
Z M z= ⋅
=
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horizontaler Schnittse
zVkN
zV
z sM V e Z z D z= ⋅ = ⋅ = ⋅
D
z
Z
Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren VerformungenAnschluss der Querkraft eines Kehlbalkens an einen „biegesteifen“ Sparren
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Klaffende Fuge in nur druckfestem Material zwischen Wandfuß und Fundament
V
M
NzF
ye
yFI = ∞
I ∞∼FundamentI z
Fund
amen
te
h=
Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren Verformungen
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Konstruktive Erfordernisse beim Plattenbalken
Symetrische Belastung
M
Bewehrung bei exzentrischerBelastung
Fertigteil - Konstruktion
Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren Verformungen
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1. Rechenansatz
Bemessung der Bauteileund Verknüpfungen
Kontrolle erfüllt ?oder Korrektur mit
2. Durchgang erforderlich ?
Analyse des tatsächlichen Systemsder Baukonstruktion aus der Bemessung
e
e
Der Fluss der Kräfte durch Strukturen und deren Verformungen
Exzentrizitäten in einem Stabwerksknoten
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Krone
Stamm
Äste
Boden
Wurzelver-ästelungen,Haarwurzeln
Haupt-wurzeln
Komplexe Bauwerke
Anwendungsorientiertes Bündelnvon ganzheitlich bleibenden Anteilender komplexen Gesamtbasis zuAstabzweigungen, zur Bearbeitungvon komplexen Bauwerken
Verschmelzendes Koppeln aller Grund-wissensanteile zu einem Gesamtkönnen
Grundwissen und -können in denfachlich relevantenWissensgebieten
Vielschichtigkeit und Breite desWissens in den einzelnenFachgebieten
Bildungsstand, Geisteshaltung,Motivation, Weiterbildung
Vielfältige Variantenund innovativeTragsysteme
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Äußere Kräfte
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Äußere Kräfte
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Äußere Kräfte –Nach der Art der Einwirkung
Belastung
statisch dynamisch
Baudynamik
beweglich
Beschleuni-gungen g
PP(t)
t
fest
ständig zeitlichveränderlich
Eigengewicht g,Erddruck e,Nutzlasten
Verkehrslast p,Wind w,Schnee s
Verkehrslasten Erdbeben,Wind,Stoß,
Maschinen-erregung
Beispiele
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Äußere Kräfte –Nach der Ursache der Einwirkung
Belastung
Kraftlastfall Verformungslastfall
eingeprägteKräfte
eingeprägteMomente
äußereKraftgrößen
Temperatur
Schwinden
Kriechen
EingeprägteLagerver-schiebung
EingeprägteDiskontinuitäten(z.B. bei Montage)
Vorspannung
als Kraftlastfall als Verformungslastfall
nq P
Tm m M
u∆
V
u∆
w∆
ϕ∆
ϕ
c∆
kε
Sε
aT
iT
.ungleichm T∆
.gleichm T
0 0T T T→ +
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Äußere Kräfte –Nach dem Ort der Einwirkung
Belastung
indirektdirekt
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Arten von Einwirkungen
a) Eigengewicht
b) Ständige Auflast
c) Verkehrsbelastung
d) Schneebelastung
e) Windbelastung
f)Bremskräfte, Anfahrwiderstände
g) Seitenstöße
h) Fliehkräfte
i) Wasserdruck
j) Erdbebenkräfte
k) Anprall von Fahrzeugen
l) Silodruck
m) Erddruck
n) Zwangskräfte
o) Kräfte in Folge dynamischer Ursachen
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Schnittgrößen
Spannungen τσ Verzerrungen
außerhalb der Stabachse
Integration überQuerschnittsfläche A
zε
z zε ε κ= + i
statische Größen(Kraftgrößen)
geometrische Größen(Weggrößen)
innereGrößen
äußereGrößen
Schnittgrößen (Resultierende) Verzerrungen (Resultierende)
äußere Lasten Verschiebungsgrößen
M
NV
εγκ
uwϕ
u
w
ϕnvm
NVM
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Schnittgrößen
Koordinaten VerschiebungsgrößenSchnittgrößenrä
umlic
heb
en
YZ
X
Y
Z
X
yM
yVz
z
V
M
N TM
yϕ
v
z
w
ϕ
u
x
oder
ϕ
ϑ
b
h
yM
yV
zM
zV
TM N
Z
X;y zM M V V≡ ≡
ϕ
z
xN
M
V
N
M Vyϕ ϕ≡
u
w
h
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Kraftgrößen Verschiebungsgrößen
Element (innere Größen)
System (äußere Größen)
3 3,S v
2 2,S v
1 1,S v
z
x6 6,S v
4 4,S v5 5,S v
1
2
3
4
5
6
S
SS
SSS
S
=
1
2
3
4
5
6
v
vv
vvv
v
=
z
x
1 1,P r2 2,P r3 3,P r
1
2
3
P
PP
P
=
iiii
1
2
3
r
rr
r
=
iiii
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Vorzeichenkonventionen
gestrichelte Faserz
i kx
Zug außen
Zug innen
P
WP WP
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Vorzeichenkonventionen
P
- + +
- -
M-Verlauf
1x
2x
3x
A
AA
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Innere Kräfte
MN
V
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Vorzeichenkonventionen
+M
Kennfaser
+M
+V
+N
+V
1F2F 1nF − nF
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Vorzeichenkonventionen
N...Normalkraft: Zugkraft positiv
V...Querkraft: positiv, wenn sie am rechten Schnittufer nach
unten geht
M...Biegemoment: positiv, wenn die Kennfaser gezogen wird
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Vorzeichenkonventionen –Auflager
+M
+Y
+X
+N +V
+Ry
+Rx
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Vorzeichenkonventionen –Kraftangriff
+M
+Y
+X
+N +V
+Py
+Px
+V
+N
+M
+M
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Vorzeichenkonventionen –Übertragungsgleichungen
M
N
V
L∆
M
N
Vki
q⊥
qP
2
1 0 00 1 00 1
2
k i
k i
k i
N N qII LV V q LM L M L
q
⋅∆ = • − ⊥ ⋅∆
∆ ∆ ⊥ ⋅
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Vorzeichenkonventionen –Übertragungsgleichungen
äM
li rei
MM
N NVV
F⊥
FP
, ,
, ,
, ,
i re i li
i re i li
i re i li a
N N FV V FM M M
⊥
= −
P
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M
V V+dV
M+dMq(x)
m(x)
dx
ZUSAMMENHANG:
BELASTUNG - QUERKRAFT – BIEGEMOMENT
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ZUSAMMENHANG: BELASTUNG - QUERKRAFT – BIEGEMOMENT
0 :V =∑ 0V q dx V dV− ∗ − − =
dV
qdx
= −
Gleichgewicht an dem Balkenelement:
1 0 :M =∑ 21 02M M dM V dy q dx m dx − − + ∗ − ∗ ∗ + ∗ =
vernachlässigbar!
dM
V mdx
= +