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ALLGEMEINE STETIGE VERTEILUNGEN UND KONKRETE ANWENDUNGEN
Universität Potsdam
Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie
Dozentin: Prof. Dr. Roelly
Referentin: Madlen Weps
GLIEDERUNG
(1) Theorie zu stetigen Verteilungen Zufallsvariable Verteilungsfunktion Dichtefunktion Erwartungswert Varianz
(2) Konkrete Beispiele Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung
(3) Zusammenfassung
DEFINITION: ZUFALLSVARIABLE
Es sei (Ω, , ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. 𝒜 𝑃Eine (reelle) Zufallsvariable ist eine Abbildung : 𝑋Ω→ℝ
mit der sogenannten Messbarkeitseigenschaft
{ ∈𝜔 Ω: ( )≤ }∈ für jedes ∈ℝ.𝑋 𝜔 𝑥 𝒜 𝑥
DEFINITION: VERTEILUNGSFUNKTION
Ist X eine Zufallsvariable auf einem
Wahrscheinlich-keitsraum (Ω, , ), so heißt die 𝒜 𝑃durch 𝐹( )≔ ( ≤ ), ∈ℝ 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥definierte Funktion :ℝ→(0,1) die Verteilungs-𝐹funktion von X.
DEFINITION: STETIGE ZUFALLSVARIABLE
Eine Zufallsvariable X heißt stetig (verteilt),
wenn es eine nichtnegative integrierbare
Funktion 𝑓:ℝ→ℝ mit der Eigenschaft
gibt, so dass die Verteilungsfunktion von 𝐹 𝑋die folgende Darstellung besitzt: 𝐹( )= ( ≤ )= (t) , ∈ℝ.𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 𝑓 𝑑𝑡 𝑥
𝑓( ) =1𝑡 𝑑𝑡
x
BEMERKUNG
Für reelle Zahlen a<b gilt:
𝑃( ≤ )= ( )= ( )𝑋 𝑏 𝐹 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑃( < < )= ( )− ( )= (x)𝑎 𝑋 𝑏 𝐹 𝑏 𝐹 𝑎 𝑓 𝑑𝑥𝑃( > )=1− ( )= ( )𝑋 𝑎 𝐹 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
b
b
a
a
DEFINITION: ERWARTUNGSWERT
Sei :ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion 𝐹mit einer zugehörigen Dichte . Falls 𝑓
𝑓( )𝑡 𝑑𝑡existiert, heißt
≔𝜇 𝐸( )≔ ( ) der 𝐹 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡Erwartungswert der Verteilungsfunktion
F mit Dichte f.
t
DEFINITION: VARIANZ
Sei :ℝ→(0,1) eine Verteilungsfunktion mit 𝐹einer zugehörigen Dichtefunktion . Die Zahl 𝑓
𝜎²≔ ( )≔ ( − ( ))² ( ) 𝑉𝑎𝑟 𝐹 𝑡 𝐸 𝑋 𝑓 𝑡 𝑑𝑡heißt Varianz der Verteilungsfunktion mit
Dichte f, falls existiert und das Integral𝜇existiert.
dttft )()²(
Die Zahl
heißt Standardabweichung der
Verteilungsfunktion F mit der Dichte f.
)(FVar
DIE GLEICHVERTEILUNG
Die Zufallsvariable hat eine stetige Gleich-𝑋verteilung auf dem Intervall ( , ), kurz 𝑎 𝑏
~ ( , ), 𝑋 𝒰 𝑎 𝑏falls die Dichte 𝑋
besitzt.
sonst
bxaabxf
0
1)(
DIE GLEICHVERTEILUNG
Die Verteilungsfunktion von hat die 𝑋Darstellung
bx
bxaabax
axxF
1
0)(
SATZ:
Die Gleichverteilung ( , ) hat den 𝒰 𝑎 𝑏Erwartungswert = ( ( , ))=𝜇 𝐸 𝒰 𝑎 𝑏und die Varianz ²= ( ( , ))=𝜎 𝑉𝑎𝑟 𝒰 𝑎 𝑏2
ba
2)²( ab
BEISPIEL
Die S-Bahnen einer bestimmten Linie fahren tagsüber alle 15 Minuten an einer Haltestelle ab.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man an der Haltestelle eine maximale Wartezeit von x Minuten hat, bis die nächste S-Bahn kommt?
DIE EXPONENTIALVERTEILUNG
Die Zufallsvariable hat eine 𝑋Exponentialverteilung mit dem Parameter
>0, ∈ℝ, kurz ~ ( ), 𝜆 𝜆 𝑋 𝐸𝑥𝑝 𝜆falls die Dichte𝑋
000)(
xxexf
x
DIE EXPONENTIALVERTEILUNG
Die Verteilungsfunktion von hat die 𝑋Darstellung
0001)(
xxeXF
x
SATZ:
Die Exponentialverteilung ( ) hat den 𝐸𝑥𝑝 𝜆Erwartungswert = ( ( ))= 𝜇 𝐸 𝐸𝑥𝑝 𝜆und die Varianz ²= ( ( ))=𝜎 𝑉𝑎𝑟 𝐸𝑥𝑝 𝜆
1
21
BEISPIEL
Lebenserwartung einer Glühbirne
Die Glühbirnen einer bestimmten Sorte haben eine Lebenserwartung von 2000 Stunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Glühbirne. a) eine Brenndauer von mind. 3000 Stunden hat?b) eine Brenndauer von mehr als 5000 Stunden hat?c) eine Brenndauer zw.1800 und 2800 Stunden hat?
Nach welchem Zeitraum ist von einer Glühbirnen-Menge dieser Sorte die Hälfte intakt? (unter Voraussetzung, dass alle dieser Birnen gleich beansprucht werden?
DIE NORMALVERTEILUNG
DIE NORMALVERTEILUNG
Die Zufallsvariable hat eine Normalverteilung 𝑋mit den Parametern und ², ∈ℝ, >0, kurz 𝜇 𝜎 𝜇 𝜎
~ ( , ²), falls die Dichte𝑋 𝒩 𝜇 𝜎 𝑋 , ∈ℝ 𝑥
besitzt.
²2)(exp
21)(
2
xxf
DIE STANDARDNORMALVERTEILUNG
Die Standardnormalverteilung (0,1) mit 𝒩=0 und ²=1 besitzt die Verteilungsfunktion 𝜇 𝜎
, ∈ℝ𝑦mit der Dichtefunktion
ydzzy )()(
exx 2²
21)(
DIE NORMALVERTEILUNG
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung
hat die Darstellung
xxF )( , ∈ℝ𝑥
SATZ:
Die Normalverteilung ( , ²) hat den 𝒩 𝜇 𝜎Erwartungswert ( ( , ²)= 𝐸 𝒩 𝜇 𝜎 𝜇und die Varianz ( ( , ²)= ²𝑉𝑎𝑟 𝒩 𝜇 𝜎 𝜎
AUFGABE:
Die Zufallsgröße X sei normalverteilt mit E(X)=0 und Var(X)=1.
Berechne
)5,21,1()3,22,1(
)5,1()5,2(
XPXP
XPXP
BEISPIEL
Der Intelligenzquotient (IQ) einer bestimmten Bevölkerungsschicht sein (100,15²)-verteilt. 𝒩
Man bestimme die Konstante c so, dass eine aus dieser Bevölkerungsschicht zufällig ausgewählte Person mit Wahrscheinlich-keit 0,3 einen IQ von mindestens c besitzt.
AUFGABE
Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
a) Bestimme k so, dass f(x) eine Dichte wird.b) Berechne den Erwartungswert und die
Standardabweichung von X.c) Bestimme die Verteilung F(x) dieser
Zufallsvariablen.d) Berechne die Wahrscheinlichkeit .
sonst
xkxxf0
3061
)(
)21( xP
ZUSAMMENFASSUNG
Allgemeine stetige Verteilungen mit Dichten
Wichtige Beispiele: Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung
)()( xfxF
QUELLEN Bosch, K. (2003). Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung.
8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Dehling, H., Haupt, B. (2004). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und
Statistik. Berlin: Springer Verlag. Fischer, G. (2005). Stochastik einmal anders. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Henze, N. (2010). Stochastik für Einsteiger. 8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg +
Teubner. Hübner, G. (2009). Stochastik. 5.Auflage. Wiesbaden: Vieweg + Teubner. Kersting, G., Wakolbinger, A. (2008). Elementare Stochastik. Basel: Birkhäuser. Krengel, U. (2005). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.
8.Auflage. Wiesbaden: Vieweg Verlag. Kütting, H., Sauer, M. (2008). Elementare Stochastik. 2. Auflage. Berlin:
Springer Verlag.
http://www.mathe-online.at/materialien/klaus.berger/files/Wahrscheinlichkeitsrechnung/zufallsvariable.pdf, Zugriff am 05.04.11, 14:20Uhr
http://www.uweziegenhagen.de/teaching/stat/VL_ziegenhagen.pdfZugriff am 12.04.11, 15:45Uhr
https://home.zhaw.ch/~maz/Aufgaben/Wahrscheinlichkeit/Stetige_Verteilung.pdfZugriff am 12.04.11, 15:30Uhr