Post on 15-Aug-2019
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7 Flächenberechnungen mit dem Integral - Übungen ================================================================== 1
Nullstellen:
f(x) = x2 + x − 5
16 = 0 ⇔ x =
− 1 ± 1 + 4⋅1⋅ 5
16
2 =
− 1 ± 3
2
2 ⇔ x = − 5
4 ∨ x =
1
2
Erstes Flächenstück:
1
4
− 5
4
(x2 + x − 5
16)dx =
1
3x3 + 1
2x2 − 5
16x
1
4
− 5
4
⌠⌡
=
= 1
3⋅ 1
64+ 1
2⋅ 1
16− 5
16⋅ 1
4
−
1
3⋅( − 125
64) + 1
2⋅ 25
16− 5
16⋅( − 5
4)
= − 1
24− 25
24 = − 13
12
Also A1 = 13
12
Zweites Flächenstück:
1
1
4
(x2 + x − 5
16)dx =
1
3x3 + 1
2x2 − 5
16x
1
1
4
⌠⌡
= 1
3+ 1
2− 5
16
− − 1
24
=
9
16
Also A2 = 9
16
Damit ist A = 13
12+ 9
16 =
79
48
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
π4
− π2
cosxdx = sinx
π4
− π2
= 1
22⌠
⌡ − ( − 1) = 1 + 1
22
π4
0
sinxdx = − cosx
π4
0 = − 1
22 + 1⌠
⌡
und damit A1 = 1 + 1
22 − 1 − 1
22
= 2
5π4
π4
(sinx − cosx)dx = − cosx − sinx
5π4
π4
= 1
22 + 1
22
− − 1
22 − 1
22
= 2 2⌠
⌡
Also A2 = 2 2
Hat im auf dem Intervall definierte und stetige Funktion f zwischen a und b keine Null-a; b
stelle, dann gilt für den Inhalt der Fläche , die der Graph von f von a bis b mit der x-Ach-Aa(b)
se einschließt
Aa(b) =
b
a
f(x)dx⌠⌡
Liegen zwischen a und b Nullstellen von f, dann müssen die Inhalte die Teilflächen einzeln
bestimmt und addiert werden.
___________________________________________________________________________
3 Flächenberechnungen
a) f(x) = 1
2x3 − 2x = 0 ⇔
1
2x⋅(x2 − 4) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 2 ∨ x = 2
0
−1
(1
2x3 − 2x)dx =
1
8x4 − x2
0
−1
= ⌠⌡
− 1
8− 1
=
7
8
2
0
(1
2x3 − 2x)dx =
1
8x4 − x2
2
0
= ⌠⌡
2 − 4 = − 2
3
2
(1
2x3 − 2x)dx =
1
8x4 − x2
3
2
= ⌠⌡
81
8− 9
− 2 − 4
= 3
1
8
A−1(3) =
7
8+ 2 + 3
1
8 = 6
b) f(x) = − 2x2 − 2x + 4 = 0 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = − 1 ∨ x = 2
−2
−3
( − 2x2 − 2x + 4)dx = − 2
3x3 − x2 + 4x
−2
−3
= 16
3− 4 − 8
⌠⌡
− 18 − 8 − 12
= − 14
3
2
−2
( − 2x2 − 2x + 4)dx = − 2
3x3 − x2 + 4x
2
−2
= − 16
3− 4 + 8
⌠⌡
− 16
3− 4 − 8
=
16
3
3
2
( − 2x2 − 2x + 4)dx = − 2
3x3 − x2 + 4x
3
2
= ⌠⌡
− 18 − 9 + 12
− − 16
3− 4 + 8
= − 41
3
A−3(3) =
131
3
c) f(x) = 4x
x2 + 3− 1 = 0 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3
1
0
(4x
x2 + 3− 1)dx = 2⋅ln(x2 + 3) − x
1
0
= 2⋅ln4 − 1
− 2⋅ln3 − 0
= 2⋅ln 4
3− 1⌠
⌡
3
1
(4x
x2 + 3− 1)dx = 2⋅ln(x2 + 3) − x
3
1
= 2⋅ln12 − 3
− 2⋅ln4 − 1
⌠⌡
= 2⋅ln3 − 2
5
3
(4x
x2 + 3− 1)dx = 2⋅ln(x2 + 3) − x
5
3
= 2⋅ln28 − 5
− 2⋅ln12 − 3
⌠⌡
= 2⋅ln 7
3− 2
A0(5) = − 2⋅ln 4
3− 1
+ 2⋅ln3 − 2
− 2⋅ln 7
3− 2
= 1 + ln
27
28 ≈ 0,9652
d) f(x) = 1
2x3 − 1,5x2 − 2x = 0 ⇔ x3 − 3x2 − 4x = 0 ⇔ x⋅(x2 − 3x − 4) = 0
x = − 1 ∨ x = 0 ∨ x = 4
−1
−2
(1
2x3 − 1,5x2 − 2x)dx =
1
8x4 − 1
2x3 − x2
−1
−2
= 1
8+ 1
2− 1
− 2 + 4 − 4
= − 2
3
8⌠⌡
0
−1
(1
2x3 − 1,5x2 − 2x)dx =
1
8x4 − 1
2x3 − x2
0
−1
= 0 − 1
8+ 1
2− 1
=
3
8⌠⌡
3
0
(1
2x3 − 1,5x2 − 2x)dx =
1
8x4 − 1
2x3 − x2
3
0
= ⌠⌡
81
8− 27
2− 9 = − 12
3
8
A−2(3) = 15
1
8
e) f(x) = 2⋅sin(2x) − 2 ≤ 0
2
−1
(2⋅sin(2x) − 2)dx = − cos(2x) − 2x
2
−1 = − 4 − cos4
− 2 − cos( − 2)
⌠
⌡=
= cos2 − cos4 − 6 ≈ − 5,7625
f)
0
−3
0,25⋅ x + 4dx = 1
6(x + 4)
3
0
−3
⌠⌡
= 4
3− 1
6 =
7
6
g) f(x) = 0 ⇔ x = 0,5
0,5
−1
− 2⋅(x − 0,5)⋅ex−x2
dx = ex−x2
0,5
−1
= e0,25⌠⌡
− e−2
1
0,5
− 2⋅(x − 0,5)⋅ex−x2
dx = ex−x2
1
0,5
= e0⌠⌡
− e0,25
A−1(1) = e0,25 − e−2
− 1 − e0,25
= 2⋅e0,25 − e−2 − 1 ≈ 1,43272
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Flächeneinschluss mit der x-Achse
a)
2
0
[x⋅(4 − x2)]dx =
2
0
(4x − x2)dx = 2x2 − 1
3x3
2
0
= 16
3 ⇒ A = 2⋅ 16
3 = 10
2
3q⌠⌡
⌠⌡
b)
3
1
[(x − 2)2⌠
⌡− 1]dx =
3
1
(x2 − 4x + 3)dx = 1
3x3 − 2x2 + 3x
3
1
= 9 − 18 + 9
−
1
3− 2 + 3
=⌠
⌡
= − 4
3 ⇒ A =
4
3
c)
2
0
( − x2 + 2)dx = − 1
3x3 + 2x
2
0
= − 2
32⌠
⌡+ 2 2 =
4
32 ⇒ A =
8
32
d)
2+ 3
2− 3
(x + 1
x− 4)dx =
1
2x2 + lnx − 4x
2+ 3
2− 3
= ⌠⌡
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5 Flächengleichheit
a)
k
0
( − 0,5x + 2)dx = − 1
4x2 + 2x
k
0
= − 1
4k2 + 2k = 0 ⇒ < x = 0 > ∨ x = 8 ⌠
⌡
b)
k
0
(x2 − 2x − 3)dx = 1
3x3 − x2 − 3x
k
0
= 1
3k3 − k2 − 3k = 0⌠
⌡
k⋅( 1
3k2 − k − 3) = 0 ⇔ k = 0 ∨ k2 − 3k − 9 = 0 ⇔ k = 0 ∨ k =
3 ± 3 5
2
Sinnvolle Lösung: k = 3
2+ 3
25
c)
k
0
(x3 − 1)dx = 1
4x4 − x
k
0
= 1
4k4 − k = 0⌠
⌡
Sinnvolle Lösung: k = 3
4
d)
k
0
(x3 + 3
2x − 2)dx =
1
4x4 − 3
4x
2− 2x
k
0
= ⌠⌡
1
4k4 − 3
4k
2− 2k = 0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6 Fläche zwischen zwei Graphen
a)
2
−1
(0,1x2 + 2 − x + 1)dx = 1
30x3 − 1
2x2 + 3x
2
−1
=⌠⌡
4
15− 2 + 6
− − 1
30− 1
2− 3
= 7,8
b)
5
e
(lnx − 1
x)dx = ⌠
⌡x⋅lnx − x − 1
x
5
e
= 5⋅ln5 − 5 − 1
5
− e − e − 1
e
= 5⋅ln5 − 5,2 + 1
e ≈ 3,2
c)
4
0
( x + 2 − e−0,2x + 1)dx = 2
3⋅ (x + 2)
3 + 5⋅e−0,2x + x
4
0
= ⌠⌡
= 4 6 + 5e−0,8 + 4
−
4
32 + 5
≈ 9,16
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
a) g'(x) = x ⇒ g'(3) = 3
Tangentengleichung: y = 3⋅(x − 3) + 4,5 = 3x − 4,5
Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse: x = 1,5
A1 =
3
0
0,5x2dx = 1
6x3
3
0
= 4,5⌠⌡
A2 = 1
2⋅1,5⋅4,5 =
27
8 = 3,375
A = A1 −A2 = 1,125
b) g'(x) = 4⋅(x − 2)3 ⇒ g'(0) = − 32
Tangentengleichung: y = − 32⋅x + 16
Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse: x = 0,5
A1 =
0
(x − 2)4dx =
1
5⋅(x − 2)
5
2
0
= ⌠⌡
32
5 = 6,4
A2 = 1
2⋅0,5⋅16 = 4
A = A1 −A2 = 2,4
c) g'(x) = − 2⋅x−3 ⇒ g'(0,5) = − 16
Tangentengleichung: y = − 16⋅(x − 0,5) + 3,75 = − 16x + 11,75
Schnittstelle der Tangente mit der x-Achse: x = 47
64
A1 =
2
0,5
(x−2 − 0,25)dx = − x−1 − 0,25x
2
0,5
= − 1
2− 0,5
− − 2 − 0,125
= 1,125⌠
⌡
A2 = 1
2⋅ 15
64⋅ 15
4 =
225
512
A = A1 −A2 = 351
512
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8 Fläche zwischen zwei Graphen
a)
Schnittstellen:
x2 = − x2 + 4x ⇔ 2x2 − 4x = 0 ⇔ 2x⋅(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2
2
0
[x2 − ( − x2 + 4x)]dx =
2
0
(2x2 − 4x)dx = ⌠⌡
⌠⌡
2
3x3 − 2x2
2
0
= − 8
3 ⇒ A =
8
3
b)
Schnittstellen:
x + 0,5x2 = x3 + x2 − 2x ⇔ x3 + 0,5x2 − 3x = 0 ⇔ x⋅(x2 + 0,5x − 3) = 0
⇔ x = 0 ∨ x2 + 0,5x − 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = − 2 ∨ x = 1,5
0
−2
[(x3 + x2 − 2x) − (x + 0,5x2)]dx =
0
−2
(x3⌠⌡
⌠⌡
+ 0,5x2 − 3x)dx = 1
4x4 + 1
6x3 − 3
2x2
0
−2
=
= 0 − 4 − 4
3− 6
=
10
3
1,5
0
(x3⌠⌡
+ 0,5x2 − 3x)dx = 1
4x4 + 1
6x3 − 3
2x2
1,5
0
= 81
64+ 9
16− 27
8 = − 99
64
A = 10
3+ 99
64 =
937
192 = 4
169
192
c)
Schnittstellen:
1
4⋅(x + 2)⋅(x − 1)
2 = 0,5 ⇔ (x + 2)⋅(x2 − 2x + 1) = 2 ⇔ x3 − 3x + 2 = 2
⇔ x = − 3 ∨ x = 0 ∨ x = 3
3
0
[f(x)⌠⌡
− g(x)]dx =
3
0
(⌠⌡
x3 − 3x)dx = 1
4x4 − 3
2x2
3
0
= 9
4− 9
2 =
9
4
A = 2⋅ 9
4 = 4,5
d)
Schnittstellen:
− 1
x2 = 2,5x − 5,25 ⇒ 2,5x3 − 5,25x + 1 = 0
Erraten: x = 2 → (2,5x3 − 5,25x2 − 1):(x − 2) = 2,5x2 − 0,25x − 0,5
2,5x2 − 0,25x − 0,5 = 0 ⇔ x = − 0,4 ∨ x = 0,5
2
0,5
(2,5x − 5,25 + 1
x2)dx =
5
4x2 − 21
4x − 1
x
2
0,5
= 5 − 10,5 − 0,5
−
5
16− 21
8− 2
=⌠
⌡
= − 1,6875 ⇒ A = 1,6875
e)
Schnittstellen: x = 2 ∨ x = 3
1
0
(x − x2)dx = 1
2x2 − 1
3x3
1
0
= 1
2− 1
3 =
1
6 ⇒ A = 2⋅ 1
6 =
1
3⌠⌡
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 Flächenstücke
a) Gleichungen der beiden Geraden: und wie angegeben . y = 1
2x − 1
2y = x − 4
Durch Einsetzen lässt sich zeigen, dass , und die "Eckpunkte" des − 1 | 1
3 | − 1
7 | 3
Flächenstücks sind.
A1 =
3
−1
( x + 2 + 1
2x − 1
2)dx =
2
3(x + 2)
3
2 + 1
4x2 − 1
2x
3
−1
⌠⌡
=
= 10
35 + 9
4− 3
2
−
2
3+ 1
4+ 1
2
=
10
35 − 2
3
A2 =
7
3
( x + 2 − x + 4)dx = 2
3(x + 2)
3
2 − 1
2x2 + 4x
7
3
⌠⌡
=
= 18 − 49
2+ 28
− 10
35 − 9
2+ 12
= 14 − 10
35
A = A1 +A2 = 131
3
b) Tangente: y = 1
2⋅(x − 5) + 1,5 =
1
2x − 1
Parabel: y = 1
8⋅(x − 3)
2 + 1 = 1
8x2 − 3
4x + 27
8
A =
5
0
(1
8x2 − 3
4x⌠
⌡+ 17
8− 1
2x + 1)dx =
5
0
(1
8x2 − 5
4x⌠
⌡+ 25
8)dx =
1
24x3 − 5
8x2 + 25
8x
5
0
=
= 125⋅ 1
24− 1
8+ 1
8
=
125
24 = 5
5
24
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10 Parameterabhängige Fläche
a) A(t) =
2
1
t
x2dx = ⌠
⌡
2
1
t⋅x−2dx⌠⌡
= − t⋅x−1
2
1
= − t
2+ t =
t
2
t
2 = 8 ⇒ t = 16
b) Nullstellen: x2 − t2 = 0 ⇔ x = − t ∨ x = t
t
0
(x2 − t2)dt = 1
3x3 − t2x
t
0
= 1
3t3 − t3 = − 2
3t3 ⇒ A(t) = ⌠
⌡4
3t3
4
3t3 = 36 ⇒ t = 3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11 Parabel
a) und damit p(2) = 2⋅(4 − 2) = 4 S 2 | 4
b) A =
4
0
x⋅(4 − x)dx =
4
0
(4x − x2)dx = 2x2 − 1
3x3
4
0
⌠⌡
= 32
3 = ⌠
⌡10
2
3
A − U4
A =
102
3− 6
102
3
= 7
16 = 43,75%
c) s.o.
d) Die Fläche liegt im 4.Quadranten, wenn Steigung der Geraden nichtnegativ und klei-
ner als die Steigung der Tangente an den Graphen von p im Punkt ist O 0 | 0
p'(x) = 4 − 2x ⇒ p'(0) = 4
Es muss also sein, damit die eingeschlossene Fläche kleiner im I.Quadranten liegt. 0 ≤ a < 4
e) Abszissen (= x-Koordinaten) der Schnittpunkte:
4x − x2 = ax ⇔ x⋅(4 − a − x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x ) = a − 4
A(a) =
4−a
0
(4x − x2 − ax)dx = ⌠⌡
4−a
0
[(4 − a)⋅x − x2]dx = ⌠⌡
(4 − a)⋅ 1
2x2 − 1
3⋅x3
4−a
0
=
(4 − a)⋅ 1
2⋅(4 − a)
2 −
1
3⋅(4 − a)
3 =
1
6⋅(4 − a)
3
AOPQ = 4,5
g) A(x) = 1
2⋅x⋅p(x) = 2x2 − 1
2x3 ⇒ A'(x) = 4x − 3
2x2 = 0 ⇒ x = 0 ∨ x =
8
3
A''(x) = 4 − 3x ⇒ A''(8
3) = − 4 < 0
Also liegt für ein Maximum des Flächeninhalts vor. x = 8
3
Wegen erhält man für oder Minima des Inhalts. A(0) = A(4) x = 0 x = 4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12 Beton
a) Koordinatensystem:
Ansatz für die Gleichung der Parabel: y = a⋅x2
eingesetzt: P 40 | 80
80 = a⋅402 ⇒ a = 1
12
40
0
(80 − 1
20⋅x2)dx = 80x − 1
60x3
40
0
= 6400
3⌠⌡
Querschnittsfläche: A = 100 dm2 − 2⋅ 64
3 dm2 = 57
1
3 dm2
Volumen: V = 5731
3 dm3
Masse: m ≈ 1,32 t
b)
Ansatz für die Gleichung der Parabel: y = 250 − a⋅x2
eingesetzt: P 100 | 0
0 = 250 − a⋅1002 ⇒ a = 1
40
100
0
(250 − 1
40⋅x2)dx = 250x − 1
120x3
100
0
= 50000
3⌠⌡
Querschnittsfläche: A = 14 m2 − 1 m2 − 2⋅ 5
3 m2 = 9
2
3 m2
Volumen: V = 972
3 m3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13 Flächengleichheit
a)
a
0
1
4x2dx = ⌠
⌡
4
a
1
4x2dx ⇔
1
12⌠⌡
a3 = 1
12⋅43 −
1
12⋅a3
⇔ a3 = 32 ⇒ a = 2
34
b) 1
4x2 = a ⇒ x = − 2 a ∨ x = 2 a
4
2 a
(1
4x2 − a)dx =
1
12x3 − ax
4
2 a
⌠⌡
= 16 − 4a
−
4
3a a − 2a a
= 32
16 − 4a + 2
3a a = 32
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
14 Funktionenscharen
a) fa(x) = 1
ax2 − a = 0 ⇔ x2 = a ⇔ x = − a ∨ x = a
b) fa( − x) = 1
a⋅( − x)
2 − a = 1
a⋅x2 − a = fa(x)
ha( − x) = 1
3⋅( − x)
2 − 1
3a2 =
1
3⋅x2 − 1
3a2 = ha(x)
c) ha(x) = 1
3x2 − 1
3a2 = 0 ⇔ x = − a ∨ x = a
d)
a
0
[(1
ax2 − a) − (
1
3x2 − 1
3a2)]dx = ⌠
⌡1
3ax3 − ax − 1
9x3 + 1
3a2x
a
0
= a2
3− a2 − 1
9a3 + 1
3a3 =
= 2
9a3 − 2
3a2
A(a) = 2⋅ 2
9a3 − 2
3a2 = 4
9a3 − 4
3a2
4
9a3 − 4
3a2 = 0 ⇔ a = 0 ∨ a = 3
− ∞ < x < 0 0 < x < 3 3 < x < ∞
4
9a3 − 4
3a2 − − +