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WS 2014/15 1
§6 Reale Feste und Flüssige Körper
€
rF =
r F i
r r i( )
i
∑
Kraft auf ein Atom:
Atomares Modell der Aggregatszustände
Þ potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab
€
rF = −grad E pot
Gaub
WS 2014/15 2
€
rr i = n1i
r a + n2i
r b + n3i
r c
Beschreibung des Festkörpers als Kristall:
Atomares Modell der Aggregatszustände
Ortsvektoren der Atome:
€
ra ,
r b ,
r c spannen die Einheitszelle auf.
Gaub
WS 2014/15 3
Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn:
Atomares Modell der Aggregatszustände
Þ Atome schwingen bei der Temperatur T mit der mittleren kinetischen Energie
€
Ekin =1
2k T
Kristall: Ekin << Bindungsenergie
Gaub
WS 2014/15 4
Phasenübergang ins Flüssige:
Atomares Modell der Aggregatszustände
Potentielle Energie wird vergleichbar mit kinetischer EnergieÞ Atome können Gitterplätze verlassen
Þ nur noch Aufenthaltswahr-scheinlichkeiten für Atome beschreibbar
Durch Fäden verbundene Punktteilchen (konstanter Abstand, variabler Winkel) eignen sich als Modell.
Þ Unordnung nimmt sprunghaft zu
Þ Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu
Gaub
WS 2014/15 5
Phasenübergang zum Gasförmigen:
Atomares Modell der Aggregatszustände
potentielle Energie wird klein gegen die kinetische Energie
Þ Atome können sich frei bewegen
Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur Verfügung stehenden Volumen.
Gaub
WS 2014/15 6
Deformierbare feste Körper
€
F = E ⋅q ⋅ΔL
L
Unterscheide:
Hooke‘sches Gesetz
elastische Körperplastische Körper
Kraft auf einen elastischen Körper:
€
σ =F
qDef.: Zugspannung:
Def.: Relativen Dehnung:
€
ε =ΔL
L
Þ Hooke‘sches Gesetz:
€
σ =E ⋅ε
€
ε <<1€
E[ ] =N
m2Elastizitätsmodul
Gaub
Hooke‘sches Gesetz
€
Epot r( ) = E0 + r − r0( )∂
∂rEpot
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟r=r0
+1
2r − r0( )
2 ∂ 2
∂r2Epot
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟r=r0
+1
6r − r0( )
3 ∂ 3
∂r 3Epot
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟r=r0
+ • • •
Þ Für kleine Auslenkungen ist F linear.
€
F r( ) = −grad E pot r( )
P ProportionalitätsgrenzeF FließgrenzeZ Zerreißgrenze
Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser:
€
E pot r( ) =r − r0( )
n
n!
∂ n
∂rnE pot
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
n= 0
∞
∑r= r0
Taylorentwicklung von E um
€
r0
ist Gleichgewichtslage
€
r0
Gaub
Hooke‘sches Gesetz
Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit.
Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich
Verschieben von Gitterebenen nicht mit beliebig kleiner Kraft möglich, weil Atome über Potentialwall gehoben werden müssen:
Gaub 8WS 2014/15
€
ΔV = d + Δd( )2⋅ L + ΔL( ) − Ld2
Querkontraktion
Volumenänderung eines Stabes mit Länge L und quadratischem Querschnitt unter Einwirkung der Zugspannung σ:
€
d2
€
= d2 + 2dΔd + Δd2( ) ⋅ L + ΔL( ) − Ld2
€
=2dΔdL + Δd2L + d2ΔL + 2dΔdΔL + Δd2ΔL
€
≈2dΔdL + d2ΔL
€
ΔV
V≈
2dΔdL
V+
d2ΔL
V
€
=>ΔV
V≈ 2
Δd
d+
ΔL
L
€
μ =−Δd /d
ΔL / L
Definition der Querkontraktionszahl:
€
=ΔL
L1+ 2
Δd /d
ΔL / L
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Mit dem Hooke‘schen Gesetz:
€
=>ΔV
V=
σ
E1− 2μ( )
€
=>ΔV
V=
ΔL
L1− 2μ( )
€
0 < μ <1
2
Gaub 9WS 2014/15
€
p = −σDruck statt Zug auf Fläche:
Quer-“Kontraktion“ bei Druck
Þ ΔL, ΔV < 0Δd > 0=> µ>0Druck von allen
Seiten:=> Längenverkürzung durch Druck auf auf d2:
€
ΔL = −Lp
E
€
Δd = −dp
E
=> Dickenreduktion durch Druck auf auf Ld:
€
ΔL = μ Lp
EQuer“kontraktion“ =>
€
Δd = μ dp
E
Quer“kontraktion“ =>
€
Δd = − dp
E
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 1 − 2 μ( )
zwei Seitenpaare!
=> Gesammtänderungen:
€
ΔL = − Lp
E
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ 1 − 2 μ( )
€
ΔV
V=
ΔL
L+
2Δd
d= −
3p
E1− 2μ( )=> Für kleine Dehnungen:
Kompressionsmodul
€
=−p1
K
€
=−p κ
Kompressibilität
€
κ =1
K=
3
E1 − 2 μ( )
Gaub 10WS 2014/15
Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche
Scherung und Torsionsmodul
€
τ =F
d2Scherspannung:
Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α:
€
τ = G α mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G
Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden:
€
E
2 G= 1 + μ
€
=>2 G
3 K=
1 − 2 μ
1 + μ
€
κ =1
K=
3
E1 − 2 μ( )mit
Gaub 11WS 2014/15
Gaub 12WS 2014/15
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SW carbon-nanotubes
Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ.
Beispiel: Torsion eines Drahtes
Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig:
€
τ = Grϕ
L=
dF
dA
€
α ≈rϕ
L
€
= Grϕ
L2πr dr
€
=>dF = Gr ϕ
LdA
€
=>dD = r dF =2πr 3 ϕ G
Ldr
€
D ϕ( ) =2πr 3 ϕ G
Ldr
0
R
∫ =π R4 G
2 Lϕ
€
=Drϕ
€
=>Dr =π R4 G
2 LRichtmoment
Gaub 14WS 2014/15
Biegung eines Balkens
Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet.
Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden.
Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser).
Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um:
€
Δl = z ϕ = zl
rFür diese Längenänderung nötige Zugspannung:
€
σ = EΔl
l= E
z
r
Biegung eines Balkens
Þ Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist :
€
dF = σ b dz =b E
rz dz
Dementsprechend wirkt das Drehmoment:
€
dD = z dF =b E
rz2 dz
Þ Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich:
€
D =b E
rz2 dz
−d2
d
2
∫ =b E
r
d 3
12
dzz = 0
b
z
Gaub 16WS 2014/15
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Biegung eines Balkens
Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt:
€
D = F0 L − x( )
Þ Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind:
€
−b E
r
d3
12= F0 L − x( )
Die Krümmung am Ort x ist also:
€
1
r= −
12 F0
b E d3L − x( )
Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal.
€
σmax =E d
2r=
6 F0 L
d2 b
=> Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn smaxdie Zerreissspannung des Materials überschreitet
Biegung eines Balkens
In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt:
€
z′ x( ) <<1
€
a = −12 F0
b E d3
€
=>z′′ x( ) =1
r= a L − x( )
Zweimalige Integrationmit den Randbedingungen z(0) = z´(0) = 0
€
=>z′ x( ) = a L x −1
2a x2
Þ Das Balkenende x=L biegt sich um s (Biegungspfeil) nach unten:
€
s = z L( ) =1
3a L3 = −
4 F0
b E
L3
d 3
€
=>z x( ) =1
2a L x2 −
1
6a x3
Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner):
€
1
r=
z′′ x( )
1+ z′ x( )2
( )
3
2
z(x)=0 beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens
Gaub 18WS 2014/15
Biegung eines BalkensDie Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt)analog behandeln:
Quader: €
A = dy dz∫∫
€
B = z2 dy dz∫∫
€
B = z2 dyy=−
b2
b
2
∫ dzz=−
d2
d
2
∫ =1
12d 3 b
Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch:
€
s = −L3
3 E BF
Andere Beispiele:
Def. Biegemoment:
x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche:
Gaub
WS 2014/15 20
Biegung eines Balkens
Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s:
€
s = −L3
4 E d 3 bF
Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2
Þ s wird um den Faktor 16 kleiner!
Gaub
WS 2014/15 21
Elastische Hysterese, Deformationsarbeit
Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε.Im ε-σ-Diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt.
Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B).
Þ elastische Hysterese
Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D.
Gaub
Elastische Hysterese, Deformationsarbeit
Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet.
Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W:
€
W = F dL0
ΔL
∫
€
= q σ dL0
ΔL
∫
€
= q σ L dε0
ε
∫
€
= V σ dε0
ε
∫
Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt:
€
σ =E ε
€
=>Welast =1
2E V ε 2
Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt:
€
σ dε∫ ≠ 0
pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit
=> Die pro Volumen in Wärme umgesetzte Arbeit entspricht der Fläche des Graphen.
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Die Härte eines Festkörpers
Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an.
Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen.
Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte.
Þ Mohshärte
Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren
Keine analytischen Beschreibungen mehr! - numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen
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