Post on 06-Aug-2019
transcript
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
1
5 Fourier-Reihen 5.1 Schwingungsüberlagerung
5.2 "Oberschwingungen" f0 : ……………………………………………………. (engl.: fundamental frequency) : ……………………………………………………. (engl.: first harmonic frequency)
Jede ganzzahlige (n) vielfache Frequenz von f0 nennt man die "n-fache harmonische Schwingung" Bsp.: f = 2 · f0 : …………………………………………… : ……………………………………………
Bsp.: f = 3 · f0 : ……………………………………………
: …………………………………………… u.s.w.
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
2
5.3 Reelle Fourier-Reihen
Jean Baptist Fourier (1807): "Jede beliebige periodische Zeitfunktion f (t) kann durch die Über-
lagerung von harmonischen Schwingungen dargestellt werden. Die Frequenzen der harmonischen Einzel-Schwingungen sind dabei ganzzahlige Vielfache der periodischen Grundfrequenz."
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
3
5.4 Beispiel: Darstellung der Dreiecksfunktion
aus Tabellen: reelle Fourier-Koeffizienten:
für
n = ungerade für n = gerade
Überlagerung der folgenden 3 Schwingungen: ergibt eine Dreieckfunktion:
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
4
x̂
5.5 Beispiel: Darstellung der Rechteckfunktion
aus Tabellen:
reelle Fourier-Koeffizienten:
für n = ungerade
für n = gerade Überlagerung der folgenden 3 Schwingungen: ergibt eine (miserable) Rechteckfunktion:
Überschwingen an Ecken: - genannt "Gibbs-Phänomen" - bei senkrechten Flanken: Überschwingen = konstant 9 % von - wird geringer wenn Flanken nicht senkrecht sondern flacher sind
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
5
5.6 Darstellung von Standard-Funktionen Um eine beliebige periodische Zeitfunktion f (t) mittels Fourier-Reihen Überlagerung darzustellen, ist allein die Kenntnis der 3 (reellen) Fourier-Koeffizienten a0, an und bn notwendig. Standard-Funktionen und deren reelle Fourier-Koeffizienten:
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
6
5.7 Konvergenz Wann konvergiert eine Fouriere Reihe? D.h. wie viele Terme sind nötig, um eine f (t) mittels Fourier-Reihenüberlagerung korrekt darzustellen? - bei Dreieck-Fkt: rel. flache Flanken = relativ "langsame" Signal-Veränderungen Fkt.-Synthese benötigt vor allem niedrige Frequenzen - bei Recheck-Fkt: steile Flanken = "schnelle" Signal-Veränderungen Fkt.-Synthese benötigt viele hohe Frequenzen (benötigt viele Terme der Fourier-Reihe für eine Konvergenz Konvergenzkriterium: Typischerweise bricht man die Fourier-Reihe ab, wenn die Amplitude einer Harmonischen ………….. der Amplitude der Grundschwingung beträgt (und somit nur noch unwesentlich zur Signaldarstellung beiträgt). Für Dreiecke (schnelle Konvergenz): fmax = 5 · f0 (3 Terme: n = 1, 3, 5) Für Rechtecke (langsame Konvergenz): fmax = 20 · f0 (11 Terme: n = 1, 3, 5, … 21)
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
7
5.8 Darstellung beliebiger Signalformen Fourier: "Jede beliebige periodische Zeitfunktion f (t) kann durch die Überlagerung von
harmonischen Schwingungen dargestellt werden." Beispiele:
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
8
∫⋅=T
tfT
a0
0 dt )( 1
∫ ⋅⋅⋅⋅=T
tntfT
a0
n dt ) ( cos )( 2 ω
∫ ⋅⋅⋅⋅=T
tntfT
b0
n dt ) (sin )( 2 ω
∫ ⋅⋅⋅⋅=2
0n dt ) ( cos )( 4
T
tntfT
a ω
∫ ⋅⋅⋅⋅=2
0n dt ) (sin )( 4
T
tntfT
b ω
5.9 Bestimmung der reellen Fourier – Koeffizienten Sind die Fourier-Koeffizienten einer f (t) nicht bekannt, so können sie bestimmt werden. Allgemein gilt:
Zusätzlich gelten folgende Vereinfachungen: a) Ist f (t) eine "gerade" Funktion: dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur cos-Terme (bn = 0) - es genügt, nur über die halbe Periodendauer (T/2) zu integrieren und das Ergebnis der Integration zu verdoppeln
b) Ist f (t) eine "ungerade" Funktion: . dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur sin-Terme (an = 0) - es genügt, nur über die halbe Periodendauer (T/2) zu integrieren und das Ergebnis der Integration zu verdoppeln
c) Besitzt f (t) „Halbwellen-Symmetrie“: dann gilt: - die Fourier-Reihe enthält nur ungerade harmonische Terme d.h. nur ungerade n-Terme (alle gerade n-Terme = 0)
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
9
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
10
5.10 Das Spektrum eines Signals (auch: Frequenz-Spektrum oder Amplituden-Spektrum) Die Aufzeichnung der Amplituden ( ) aller harmonischen Schwingungen über n ,bzw. über f oder ω, nennt man das Spektrum eines Signals (oder auch ein Frequenz-Spektrum / Amplituden-Spektrum). Je geringer die Amplitude einer Harmonischen, desto weniger trägt diese Harmonische zur Signaldarstellung bei. Bsp.-1: Bsp.-2: f (t) : Rechteckimpulsfolge:
x̂
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
11
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
12
2 )( cos
tjtj eet⋅−⋅ +
=⋅ωω
ω
jeet
tjtj
2 )( sin
⋅−⋅ −=⋅
ωωω
5.11 Komplexe Fourier-Reihen Die Darstellung von Signalen mit Hilfe von komplexen Fourier-Reihen ist schlicht eine andere Form der Signaldarstellung. a) Überführung reelle Form komplexe Form reelle Form der Fourier-Reihe: Für die Überführung in die komplexe Form wird die Euler'sche-Formel benutzt: Mit Euler'scher Formel: Substitution aller sin- und cos-Terme in der Fourier-Reihe: Nun: Klammern ausmultiplizieren:
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
13
Nun: ordnen nach Exponenten-Ordnung: Mit den C-Koeffizienten geschrieben:
und zusammengefasst: Darstellung einer Fourier-Reihe in komplexer Form:
mit den komplexen Fourier-Koeffizienten: C0 und Cn Vorteile: - es werden nur zwei Fourier-Koeffizienten benötigt: C0 und Cn - pro Frequenzanteil ist nur eine Rechenoperation notwendig Nachteil: komplexe Fourier-Reihen benötigen zur Signaldarstellung auch das negative
Komplementär einer jeden beteiligten Frequenz.
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
14
b) negative Frequenzen Mit der Einführung der komplexen Fourier-Reihe wird das Amplitudenspektrum formal auf negative Frequenzen ausgedehnt. c) Beispiel: für Rechteckimpulsfolge mit T/Ti = 2 komplexes Amplitudenspektrum:
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
15
d) Umrechnungen von gegebenen reellen Koeffizienten von gegebenen komplexen Koeffizienten nach komplexe Koeffizienten: nach reelle Koeffizienten: e) Bestimmung der komplexen Fourier-Koeffizienten Sind weder die reellen, noch die komplexen Fourier-Koeffizienten bekannt, so können die komplexen Fourier-Koeffizienten folgendermaßen berechnet werden (in Analogie zur Bestimmung der reellen Fourier-Koeffizienten, siehe 5.9.) : 5.12 Darstellung aperiodischer Signale als komplexe Fourier-Reihe Die vorherigen Kapitel befassten sich ausschließlich mit der Darstellung von periodischen Signalen mittels Fourier-Reihen Überlagerung. Wie viele Frequenzanteile sind nötig, um periodische Signale darzustellen ? - theoretisch: ∞ viele Frequenzen - praktisch: Frequenzanteile begrenzt durch Konvergenzkriterium es wird zur Signaldarstellung eine diskrete Anzahl von Frequenzen benötigt diese Frequenzen waren ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f0 Lassen sich auch aperiodische Signale durch eine Fourier-Reihenüberlagerung darstellen? z.B. ein einzelner Impuls ?
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
16
s 4 T s, 2 T 1, x̂ i ===
s 12 T s, 2 T 1, x̂ i ===
s 32 T s, 2 T 1, x̂ i ===
Beispiel: Rechteckimpulsfolge 1.) mit folgenden Einstellungen: T/Ti = 2
2.) mit folgenden Einstellungen: T/Ti = 6
3.) mit folgenden Einstellungen: T/Ti = 16
Schlußfolgerung: Steigt das Verhältnis T/Ti , so werden mehr und mehr Frequenzen benötigt, um
dieses Signal durch eine Fourier-Reihen Überlagerung darzustellen.
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Elektrotechnik Prof. Hans-Dieter Seelig, Ph.D. Lehrveranstaltung Systemtheorie
17
∑∞+
∞
⋅⋅⋅=
-
tn jn e )( ωCtf
d e )(j )( lim
-
t j
∫∞+
∞
⋅
∞→⋅= ωω ωFtf
T
Im Grenzfall T ∞ (d.h. nur noch ein einzelner Impuls) geht die diskrete Anzahl notwendiger Frequenzen in eine kontinuierliche Frequenz-Verteilung (eine sog. Amplituden-Dichteverteilung) über.
1 Impuls im Zeitbereich: komplexes Amplitudenspektrum (im Frequenzbereich):
Zusammenfassung: Für periodische Signale ergab sich die Darstellung als Fourier-Reihe als eine diskrete Summe aller benötigten Frequenzanteile: Im Grenzfall T ∞ geht diese Summe in ein Integral über:
mit ∆ω dω
Man sagt: die diskrete Amplitudenverteilung Cn geht in die Amplitudendichte F (jω) über.
Für die Darstellung aperiodischer Signale werden alle Frequenzen benötigt.