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Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1
2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung
Portfolio
Marktparameter
Beoboachtungszeitraum
Liquidationszeitraums
Wahrscheinlichkeitsniveau
2. Marktpreisrisiko
Festlegung der Prämissen
Varianz- Kovarianz- Ansatz
Value at Risk Histor. Simulation
Monte-Carlo-Sim.
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 2
Festlegung des Portfolios
Portfolio = Zusammenfassung von Finanzinstrumenten (z.B. Kauf oder Verkauf von Aktien, Anleihen, OTC-Optionen,
Gewährung von Krediten)
Gesamtportfolio Teilportfolio
Frage der Aggregation
Bildung der Teilportfolios in Abhängigkeit der Organisationsstruktur (z.B. nach Regionen und Produkten)
Zerlegung von komplexen Finanzinstrumente in ihre Bestandteile
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 3
Identifikation der Marktparameter
Marktparameter () (z.B. Währungskurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes, implizite
Volatilitäten)
Funktion zur Bestimmung des Portfoliowertes in Abhängigkeit der Parameter (z.B. Optionspreisformel von Black-Scholes)
Festlegung des Beobachtungszeitraums
Beobachtungen der Vergangenheit = Zeitreihe
Frage, wie viele und welche Werte aussagekräftig für Zukunft ?
Anzahl der einbezogenen Werte meist 90 - 250
Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Beobachtungszeitraum von mind. 1 Jahr ! (250 Tage/52 Wochen)
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 4
Festlegung des Liquidationszeitraums/Haltedauer
Betrachtungszeitraum, für den Wertveränderungen aufgrund von Markteinflüssen beobachtet werden
Annahme: Positionen werden während Haltedauer nicht verändert (stattfindende Handelsaktivitäten werden vernachlässigt)
Haltedauer abhängig von Möglichkeit der Glattstellung
Glattstellung durch Verkauf der Position oder Hedging
Glattstellung abhängig von Liquidität der einzelnen Märkte
Handelsaktivitäten - häufig Haltedauer von 1 Tag („overnight“)
Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Haltedauer von mind. 10 Tagen! (bei Optionen auch kürzer)
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 5
Festlegung des Wahrscheinlichkeitsniveaus
VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit P während der Haltedauer nicht überschritten wird
VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein-lichkeit p (p = 1 - P) während der Haltedauer überschritten wird
P = Konfidenzniveau p = Quantil
Berechnung des Verlustes aus Normalverteilung in Abhängigkeit von und
Konfidenzniveau P meist zwischen 95% - 99%
Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Konfidenzniveau von 99% !
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 6
2.2 Varianz- Kovarianz-Ansatz
verschiedene Verfahren, die sich hinsichtlich der Modellvariablen unterscheiden (Wertänderungen, Rendite, Marktparameter)
jede der Modellvariablen = Zufallsgröße mit bekannter Verteilung
Darstellung der Berechnungsverfahren
in Realität Verteilung der Zufallsgröße unbekannt statistische Verfahren zur Ermittlung der Verteilung
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 7
2.2.1 Varianz-Kovarianz- Ansatz mit Wertänderungen
Annahme: Wertänderung (V = Vt - Vt-1) während Haltedauer einer Position ist normalverteilt!
Normalverteilung: V Mittelwert der WertänderungV Standardabweichung, Preisvolatilität
bei vorgegebenem Konfidenzniveau Bestimmung des VaR durch Quantil
< 2.1 > Ein Investor hält am 31.3.95 eine Position von 100 Millionen CHF (Gegenwert 121,33 Mio DM). In den letzten drei Monaten hatten die täglichen Erträge aus dieser Position einen Mittelwert von 46.093,75 DM und eine Standardabweichung von 268.697,96 DM.
Das VaR zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% kann nun über das 2,5%-Quantil bestimmt werden.
DM17,302.491)96,697.268275,093.46(
VVVV )(VaR
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 8
Annahme: Wertänderungen eines Portfolios normalverteilt ??
Annahme: Wertänderungen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !!
< 2.2 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen: 1. Position: vgl. vorne2. Position: Shortposition in Höhe von 50 Mio USD (Gegenwert 69,19 Mio DM);Tägliche Erträge der letzten 3 Monate : Mittelwert von 2.679,69 DM (je 1 Mio USD);Standardabweichung von 11.315,68 DM (je 1 Mio USD)
U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM
U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, V1 = -2.679,69 DM, V2 = 11.315,68 DM
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 9
U1 = 100, V1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM
U2 = -50, V2 = -69,19 Mio DM, V1 = -2.679,69 DM, V2 = 11.315,68 DM
Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios
PF = U1 · V1 + U2 · V2
PF = 100 · 460,94 + (-50) · (-2.679,69) = 0,1801 Mio DM
Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
Intuition!!???? PF = U1 · V1 + U2 · V2
PF = 100 · 2.686,98 + (-50) · 11.315,68 = -297.086
i.d.R. falsch!!!
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 10
Kovarianz Korrelationskoeffizient (-1 1)
yx
)Y,X(Cov)Y,X(
yxxyxy)Y,X(Cov
Varianz des Portfolios
21
21U Position 1: und 2112211221 UUUU
Position 2: und22
22U 2121212121 UUUU
Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
2112212
22
22
12
1PF UU2UU
Analyse der Varianz eines Portfolios muß die Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten der Assets berücksichtigen !
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 11
Möglichkeitenkurve in Abhängigkeit von
keinerlei Diversifikationseffekt bei = +1, bei perfekter positiver Korrelation
maximaler Diversifikationseffekt bei = -1 Portfolio-Volatilität von 0 und sichere Rendite
i.d.R. hyperbelförmiger Verlauf der Möglichkeitenkurve (-1 < < +1)
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 12
DM .Mio 3309,11801,07555,02VaR PFPF
VaR des Portfolios zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5%
316.11687.2)50(1002316.11)50(687.2100 122222
PF
bei gegebener Korrelation: 12 = -0,5870
PF = 0,7555 Mio DM
2112212
22
22
12
1PF UU2UU
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 13
VN,VN1V,VN
VN,1V1V,1V
PF
Σ
VN
1V
PF M
PFTPFPF MU
PFPFTPFPF UΣU
n
VnnPF U
i
Vj,Vijj
iPF UU
i
Vj,ViVjVijj
iPF UU
Übertragung auf beliebig große Portfolios
Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios
Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
VaR des Portfolios
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 14
Nachteil: Theoretische Fundierung der Normalverteilung der Wertänderungen kaum möglich
2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen
Renditen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !!
Rendite während der Haltedauer
Lt
Lttlin V
VVr
Lt
tlog V
Vlnr
gemeinsame Normalverteilung der Renditen bestimmt durch
rN
1r
rPF M
rN,rN1r,rN
rN,1r1r,1r
rPF
Σ
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 15
Wert der N Assets des Portfolios VT = (V1, V2, ..., VN)
alternativer Anteilsvektor nach Lintner
Anteilsvektor vT = (v1, v2, ..., vN) mit
n
n
nn
nn 1VmitN,...,2,1n,
VV
v
n
n
nn
nn 1||mitN,...,2,1n,
|V|V
),...,( N1T
Mittelwert der Renditen des Portfolios
Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios
rPFT
rPF v M
vv rPFT
rPF Σ
|PF|rT
|PF|r M
|PF|rT
|PF|r Σ
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 16
negative Rendite, deren Betrag mit der vorgegebenen Wahr-scheinlichkeit während der Haltedauer nicht überschritten wird
Rendite-Quantil zu einer Wahrscheinlichkeit
rPFrPFVaRr
Aus folgt V = Vt-L · rlinLt
Lttlin V
VVr
Berechnung der negativen Wertänderung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit während der Haltedauer :
VaR = VPF · rVaR,lin
)(VVaR lin,rPFlin,rPFPF
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 17
< 2.3 > Ein Investor hält am 31.3.95 zwei Positionen: 1. Position: Long-Position über 100 Mio CHF (= 121.33 Mio DM)2. Position: Shortposition über 50 Mio USD (= 69,19 Mio DM)
Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - CHF:Mittelwert von 0,0387% ; Standardabweichung von 0,2260%
Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - USD:Mittelwert von -0,1794% ; Standardabweichung von 0,7807%
Korrelation der Renditen r1,r2 = -0,5845
%3281,0%)1794,0()33,1(%0387,033,2vv 2r21r1PF
DMMio14,52)19,69(33.121VPF
33,214,5233.121
v1 33,114,5219,69
v2
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 18
2r1r2r,1r2122r
22
21r
21rPF vv2vv
1,4093%
%7807,0%226,0)5845,0()33,1(33,22
%7807,0)33,1(%226,033,2
2222
rPF
Rendite-Quantil bei Wahrscheinlichkeitsniveau von 97,5%
VaR
%4906,2%3281,0%4093,12rPFr rPFVaR
DMMio30,1%4906,2DMMio15,52rV VaRPF
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 19
Normalverteilungsannahme der Renditen nicht unproblematisch!
Ränder der tatsächlichen Häufigkeitsverteilung werden durch Normalverteilung unterschätzt
Häufigkeitsverteilung hat um den Mittelwert höhere Werte als die Normalverteilung
Verteilung oft linksschief (mehr Beobachtungen in der linken als in der rechten Seite)
Renditen sind zeitlich korreliert
Aufgabe der Normalverteilungsannahme vernichtet Vorteil, daß Risiko relativ einfach durch Mittelwert und Standardab-weichung Zeitreihenanalyse um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren beschreibbar!
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 20
2.3 Darstellung der Schätzverfahren
Varianz-Kovarianz-Ansatz: Zufallsvariable = normalverteilt
Spezifizierung der unbekannten Verteilung durch Schätzung von , , (Kovarianzmatrix)
Zeitreihenanalyse, um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren (für Haltedauer = 1 Tag)
Verfahren:
- Empirische Schätzungen
- Exponentielles Glätten
- ARCH und GARCH Modelle
- Implizite Volatilitäten
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 21
2.3.1 Empirische Schätzungen
Annahme: Entwicklung der Parameter gemeinsam folgt einem stationären stochastischen Prozeß ohne zeitliche Korrelation
Beobachtungswerte eines Parameters = Realisation der Zufallsvariable
Schätzung des Mittelwertes durch empirischen Mittelwert,
00 t)1B(t ,...,
Schätzung der Volatilität durch empirische Standardabweichung
der Zeitreihe
1B
0iitt, 00 B
1ˆ
1B
0i
2t,it )ˆ(
1B1
ˆ00
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 22
Betrachtung mehrerer Parameter
z.B. Zeitreihen zweier Parameter 1 und 2
Bestimmung des empirischen Korrelationskoeffizienten
mit
},...,{00 t,1)1B(t,1 },...,{
00 t,2)1B(t,2
0201
00
t,t,
21t21t ˆˆ
),(voC),(ˆ
)]ˆ()ˆ[(1B
1),(voC
0t,200t,100 it,21B
0iit,121t
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 23
Wahl des Beobachtungszeitraums!! Fiktiver Kursverlauf mit steigender Volatilität
Grundannahmen?!
- konstante Mittelwerte und Volatilitäten der einzelnen Parameter
- Werte einzelner Parameter unkorreliert im Zeitablauf
- verschiedene Parameter unkorreliert im Zeitablauf
Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 24
Korrelationsschätzungen (B = 90 Tage) am Beispiel USD/DEM mit JPY/DEM in der Zeit vom 12.5.1993 bis zum 31.07.95
zwischen 0,07 und 0,72