Post on 05-Apr-2015
transcript
2. Wellenoptik2.1. Kohärenz
Kohärenz Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen Maß der Phasenkorrelation
Quantenmechanik Energieunschärfe τ
Eδ 1
τEδ 1
τ
1ω
τ
1ω
Photon, = 2
atomare Übergänge Emission von Licht-Wellenpaketen (Photonen)
E1
Energieniveaus der Hüllenelektronen
2.1.1. Zeitliche (bzw. longitudinale) Kohärenz
E
E0 Grundzustand: Lebensdauer
E1 angeregter Zustand: Lebensdauer e
ωEEνh 01 ωEEνh 01 2h 2h
Emittierter Wellenzug (fester Ort):
ωdeωE~
tE tωi ωdeωE~
tE tωi
t detEωE~
tωiπ2
1 t detEωE
~ tωi
π21
Fourier-
Transformation
unendlich scharfe Frequenzlinie unendlich langer Wellenzug
unendlich kurzer Lichtpuls unendlich breites Frequenzspektrum
ωE~
ωE~
ωI~ tEtEtI
tI
tt0
Unschärferelation
tE1tω
γ
ω0
ωI~
τω
1t
τ
ω
1t
τ
1ω
τ
1ω
Mathematische Fassung des Kohärenzmaßes:
Korrelationsfunktion:
22
21
1212
2112
EE
ττγ
τtEtEτ
τγReII2III 122121tot τγReII2III 122121tot
τ
1Δνπ2ω
τ
1Δνπ2ω
ω0
ωI~
Strahl 1 Strahl 2
τω
1t
τ
ω
1t
Anschauliche Formulierung:
In Kohärenzzeit tK laufen Strahlen 1, 2 in der relativen Phase um 2 auseinander weitgehende Phasenmischung des Wellenpakets.
Die Kohärenzlänge l ist der Gangunterschied (Abstand phasen-gleicher Punkte) zwischen Strahlen 1, 2, der in Kohärenzzeit auftritt.
λΔ
λ1
ν
ctc
2
λ1K
Länge des kohärenten
Wellenzuges
Beispiele:
E
E0 Grundzustand:
E1
metastabiler Zust. e e
Spontane Emission Induzierte Emission
CO2-Laser: 10,6 m, 105 nm l 11 km
1)Weißes Licht: 400 700 nm
550 nm
2)Quecksilberdampflampe, grüne Spektrallinie:
546 nm
0,025 nm
3)Laser (Light Amplification by Stimulated Emittion of Radiation)
cm1,2λΔ
λ
2
m1μλΔ
λ
2
2.1.2. Räumliche (bzw. laterale) Kohärenz
ausgedehnte Lichtquelle
phasenkorreliert,longitudinal kohärent Überlagerte, verwaschene
Interferenzmuster
interferenzfähige Strahlen
interferenzfähige Strahlen
Kohärenzfläche Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung mitrelativen Phasenmischungen bzgl. Interferenzpunkt.
Kohärenzvolumen Volumen mit lateraler und longitudinaler Phasenmischung bzgl. Interferenzpunkt.
reale QuelleBeispiel: Sonne Beteigeuze (Orion)
Kohärenz-fläche
Kohärenz-flächen
ideale ebene Welle
ideale Kugelwelle
4 r2
Beispiel:
P1
P2
lausgedehnte Lichtquelle
B
A
Völlige Ausschmierung des Interferenzbildes in P:B: 0 maximale Helligkeit in P
A: Auslöschung in P
r
s
Schirm
P
, d.h. 2λδ
r
sδθ
, wobei
Interferometer
Kohärenzbreite:θ2
λ
2
λ
s
r Kohärenzfläche:
4
λ1 22
Raumwinkel der Lichtquelle vom Interferometer aus gesehen
2.1.3. Erzeugung kohärenter Wellen
a) Phasenstarre Sender:
b)Strahlteilung:
L1
L2
Inter-ferenz
b)Virtuelle Mehrfachbilder einer Quelle:
L
2.2. Interferenz
2.2.1. Zweistrahlinterferenz
Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen
r1k
2k
22
2
11
1
tωrki02
tωrki01
eEt,rE
eEt,rE
t,rEt,rEt,rE 21
Interferenzbild: 1221
2
0 IIIt,rEcεrI
zeitliches Mittel
Tafelrechnung rδcosnnII2I 212112
rδcosnnII2I 212112
E
En
1,2
1,2
0
0
2,1
E
En
1,2
1,2
0
0
2,1
rkkrδ 1212
rkkrδ 1212
rδcosnnII2I 212112
rδcosnnII2I 212112
E
En
1,2
1,2
0
0
2,1
E
En
1,2
1,2
0
0
2,1
rkkrδ 1212 rkkrδ 1212
Folgerungen:
a) Nur Anteile gleicher Polarisation interferieren;
b)
c)
0Inn 1221
221
2
21
2121211221
IIIII
II2,II2rδcosII2Inn ][
002121 I4I0III und nn
Bemerkung: Überlagerung inkohärenter Strahlen 021 I2III
ycosI4
y2cosI2I2I
sλπ2
0
sλπ
00
y
I(y)4 I0
0sλ
sλ
sλ2
sλ3
sλ2
sy
λλπ2
λπ2
λπ2
12 π2θtanθsinδ
Beispiel 1: Youngscher Doppelspalt 2 punktförmige kohärente Lichtquellen
l,
enger Spalt Punktquelle Doppelspalt, l ≫ Spaltbreiten
2 Punktquellen Schirm
x
y
.
1k
2k
s
21 kk
Einschub
Phasensprünge bei Reflexion
B: Brewster-Winkel
0
0 90B
R
0
0 90B
R
0
0 90B
R
E
E,x
E,z
n1
n2 n1
reflektierter Teilstrahl
Strahlebene
transmittierter Teilstrahl
x
z
Einschub
B: Brewster-Winkel
C: kritischer Winkel (Totalreflexion)
Phasensprünge bei Reflexion
0
0 90B
R
C
E
0
0 90B
R
C
E,z
0
0 90B
R
C
E,x
n1
n2 n1
reflektierter Teilstrahl
Strahlebene
transmittierter Teilstrahl
x
z
Beispiel 3: Der Lloyd-Spiegel
Schirml
,
ys ≫ l
Spiegel
Punktquelle
Spiegelbild: virtuelle Punktquelle
I(y)
ππ2δ sy
λ
Doppelspalt Phasensprung bei Reflexion (streifender Einfall)
ysinI4y2cos1I2πy2cosI2I2I sλπ2
0sλπ
0sλπ
00
Beispiel 2: Das Michelson-Interferometer Siehe Relativitätstheorie
Beispiel 4: Das Fresnelsche Biprisma
y
n
O
l
d ≫ Basislänge s ≫ l
β
nβ
nβα
βαn βα1n
dα1ndβα1ndβ2
Einsetzen in Doppelspalt-Formel
ycosI4I sλ1nαdπ22
0 ycosI4I sλ1nαdπ22
0
I(y)
I3
Beispiel 5: Planparallele Platte
Linse
A
B
C
D
I0 I1
I2
d
n
n0 = 1
n0 = 1
01 IRI
112
02
2 IIR1IR1RI O
2122
023
3 I,IIRIR1RI
Fresnel-Formeln
Intensitätsreflexionskoeffizienten
βRαRR00 nnnn
oft ≪ 1
zu vernachlässigen Zweistrahlinterferenz
Tafelrechnung Gangunterschied παsinndλ
π4δ 22 παsinnd
λ
π4δ 22
relativer Phasensprung der Reflexionen in A und B Maxima: m
Minima: (2m+1)m ℤ
Beispiel 6: Newtonsche Ringe
R
Glasscheibe
sphärische Linse, Diapositiv …
r
Licht,
d
①
d relativer Phasensprung
Tafelrechnung Gangunterschied π2δ 21
Rλr2 π2δ 2
1Rλ
r2
Maxima:
Minima:
Rλmrπm2δ 21
Rλmrπ1m2δ r
I Transmission komplementäres
Muster
Reflexion: I2 I1 = R I0 starker KontrastTransmission: I2 R2 I1 I1 schwacher Kontrast
②
2.2.2. VielstrahlinterferenzGut reflektierende Grenzschichten Mehrfachreflexionen relevant
Beispiel 1: Planparallele Platte (verspiegelt), d.h. R nicht ≪ 1
B1 B2 B3
C3C2C1n
A3
A0 A1 A2
d
n0 = 1
n0 = 1
A4
D3D2D1
2.2.1. Beispiel 5
Gangunterschied
benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge
αsinndλ
π4δ 22 αsinnd
λ
π4δ 22
|A|R
RR1|C|R1|A| |A|R|A| 0
k
k1k01
Amplitudenbeträge:
|A|R1RR|B|RR|C|R|C|
|C|R|C|
01k
11k
11k
k
k1k
k ℕ
B1 B2 B3
C3C2C1n
A3
A0 A1 A2
d
n0 = 1
n0 = 1
A4
D3D2D1
Phasensprünge:
• A2A3A4: je zusätzlich 2 identische Reflexionen R 0
• Polarisation : A0A1: R A0A2: R 0
• Polarisation und B:A0A1: R 0 / A0A2: R / 0
• Polarisation und B: A0A1: R / 0 A0A2: R 0 /
Generelles Resultat: A1 A2 A3 A4 A5 R R 0 R 0 R 0
B1 B2 B3
C3C2C1n
A3
A0 A1 A2
d
n0 = 1
n0 = 1
A4
D3D2D1
Tafelrechung Reflektierte Gesamtintensität:
R0T
2
0
2
1kk
0
R
III
A
A
I
I
Airy-Formeln
2δ2
0
T
2δ2
2δ2
0
R
sinF1
1
I
I
Fsin1
sinF
I
I
mit
R1
R4F 2
R1
R4F 2
,0F
R 0 R 1
αsinndλ
π4δ 22 αsinnd
λ
π4δ 22
Airy-Formeln
2δ2
0
T
2δ2
2δ2
0
R
sinF1
1
I
I
Fsin1
sinF
I
I
R1
R4F 2
R1
R4F 2
αsinndλ
π4δ 22
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
2m 2m
0
T
I
IR
0.1
R
0.5
R
0.9
F1
1
Halbwertsbreite der Transmissionsfenster:
F
1δ4
ε22
επm2221
II arcsin4ε1sinF1sinF δδ2
1
0
T
0ε1ε1RR
R12
F4
δδ
Variante: Fabry-Perot-Interferometer (FPI) höchstauflösende Spektroskopie (-Messung)
d
QuarzAntireflex-Beschichtung (Vergütung)
Antireflex-Beschichtung (Vergütung)
50 nm Ag-Schicht (aufgedampft)
wie planparallele Platte mit n 1 („Luft-Platte“)
Frequenzmessung bei punktförmiger Quelle:
n
dL1 L2
Quelle Detektorν
sinndδ
cdnπ4
λdnπ4
0α22
λπ4
Transmissions-Maxima:
πm2δm dn2mc
mmdn2
m νλ
Frequenzabstand zweier Maxima: dn2c
m1m ννν (freier Spektralbereich)
Halbwertsbreiten der Maxima: νεε
RπR1
R
R12π2νΔ
δdnπ4c
ν
Frequenzauflösung:R1
Rπ
ε
νΔF
ν Finesse:
Anschauliche Bedeutung: Zahl der interferierenden Teilwellen
Frequenzmessung bei ausgedehnter Quelle:
cosd
sinndδ
λπ4
1n
22λπ4
FPI
dL1, f1
L2, f2
Quelle Detektor
f1 f2
Transmissions-Maxima: λmαcosd2πm2δ mm konzentrische Ringe mit Radius f2 tan m (bei festem ) in Detektorebene
Dm
3mm2m2m ααf2αtanf2D Ο
4m
2mm αα2dαcosd2λm Ο
mλ
d2
d
λf4αf4D
222
m22
2m
m
λ
d2
d
λf4αf4D
222
m22
2m
Dm
mλ
d2
d
λf4D
222
m
m
λ
d2
d
λf4D
222
m
Ringnummerierung von innen:
mmp 0 mit λ
d2m 0
Exzess: 0,1 mλ
d2ε~ 0
ε~pd
λf4D
222
p ε~pd
λf4D
222
p
2pD
p0 1 2 3 4
ε~d
λf4 22
d
λf4tan
22 d
λf4tan
22
Beispiel 2: Dielektrische Spiegel
Metallspiegel starke Absorption von e.m.-Wellen in Metallen
1κ1n
κ1n
1ε
1εRκinε
nκ
22
2220βα
typische Werte: R 0,90 0,95
Dielektrische Spiegel: R 0,99995 erreichbar (für feste )
1m
Glassubstrat
≫ n3
n1
n2
• 1520 aufgedampfte Schichten, alternierende Brechungsindizes
• Schichtdicken Computer-optimiert für Wellenlänge
• reflektierte Strahlen kohärent und konstruktiv interferierend
(nicht absorbierend)
Beispiel 3: Vergütung (Antireflexschicht)
Ziel: Beseitigung von Reflexen bei Brillen, Objektiven, Elementen in komplexen optischen Aufbauten (Laborexperimente)
Methode: „Inverser“ dielektrischer SpiegelVielschichtvergütung Reflexbeseitigung in breitem -Bereich
(z.B. sichbares Licht)
Einfachster Fall: Einschichtvergütung für feste Wellenlänge
Glas
n2 n1
n1
Auslöschung
Verifikation Übung
2.3. Beugung
2.3.1. Kirchhoffsche Beugungstheorie
Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen
z
x
y Blende bei z 0S
PSender
λ
π2k Empfänger
Dd
Einlaufende Amplitude für eine Punktquelle
D
eAE
Dki
S D
eAE
Dki
S
Auslaufende Amplitude ( Überlagerung von Kugelwellen)
dy dxd
eyx,Ey,x;cos,θcosCE
dki
S
Blende
P dy dxd
eyx,Ey,x;cos,θcosCE
dki
S
Blende
P
yx,εcoscosθC π4ki yx,εcoscosθC π4ki
(x,y) Durchlässigkeit der Blende; oft 1
Skalare Theorie ohne Polarisations-
effekteEE
eEeEy,xE yx kykxi
0rki
0S
Einfallende ebene Welle ( unendlich weit entfernte Punktquelle):
dy dxd
eyx,Ecosθcosy,xε
π4
kiE
dki
S
Blende
P dy dxd
eyx,Ecosθcosy,xε
π4
kiE
dki
S
Blende
P
P
z
x
y z 0
d
k
Well
enfro
ntyyxx sinθk k sinθkk
dy dx
d
eecosθcosy,xε
π4
EkiE
dkisinθysinθxki
Blende
0P
yx dy dx
d
eecosθcosy,xε
π4
EkiE
dkisinθysinθxki
Blende
0P
yx
dy dxd
ecos1y,xε
π4
EkiE
dki
Blende
0P dy dx
d
ecos1y,xε
π4
EkiE
dki
Blende
0P
Spezialfall: Senkrecht einfallende ebene Welle 0θθθ yx
Fraunhofer-Beugung: Quelle & Empfänger im Unendlichen
mathematisch präzise: d,D λρ2
d,D λρ2
D Abstand Quelle / Blended Abstand Blende /
Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts
yx,
iny,x sinθkk
yx,
outy,x sinkk
Experimentelle Realisierung:
L2L1
Schirm / Detektor
Quelle
Blende
dy dxecosθcosy,xε.constE yyxx sinsinθysinsinθxki
Blende
P
sinyksinxk0,0dky,xdk dλρ
yx
2
O sinyksinxk0,0dky,xdk dλρ
yx
2
O
Taylorentwicklung:
Oft ist 0, ≪ 1 dy dxey,xε.constE yx yxki
Blende
P dy dxey,xε.constE yx yxki
Blende
P
Fresnel-Beugung: Quelle oder Empfänger nahe an der Blende
mathematisch: Doder d λρ
λρ 22
Doder d λρ
λρ 22
experimentell erzeugbar ohne Linsen
b) Nahzone Quelle:
zS
Blende
Beugungsbild
λ
ρz
2
S λ
ρz
2
S
im Unendlichen
D Abstand Quelle / Blended Abstand Blende /
Detektor max. Blendendurchmesser Wellenlänge des Lichts
a) Nahzone Bild:
ebene Welle zP
Blende Schirm
Beugungsbild
λ
ρz
2
P λ
ρz
2
P
2.3.2. Beugung am Spalt ( Fraunhofer-Grenzfall )
a) unendlich ausgedehnt in y 1-dimensionales Problem
b
b x ≪ 1
x
2b
2b
xy xkiyki edxedyE
ykeine Ablenkung
in y-Richtungkeine Ablenkung
in y-Richtung
Tafelrechnung u
usinIuI
2
2
0 u
usinIuI
2
2
0
2
kb
λ
bπu xx
2
kb
λ
bπu xx mit
I
u 22 uBreite:
b klein breites Beugungsbild
b ≫ geometr. Optik, I(u) (u)
bλ2π2u x
b) Rechteckspalt
bx
2xb
2xb
x
2yb
2yb
y xkiyki edxedyE
v
vsin
u
usinIuI
2
2
2
2
0 v
vsin
u
usinIuI
2
2
2
2
0
yy
yy
xx
xx
2
kb
λ
b πv
2
kb
λ
bπu
yy
yy
xx
xx
2
kb
λ
b πv
2
kb
λ
bπu
mit
by analoges Resultat in zwei Dimensionen
Fraunhoferbeugung an Dreiecksblende
b
c)
d) Lochblende
22
22
yR
yR
R
R
yki22R
R
yki ydeyR2dxedyE
Tafelrechnung
u
uJ2IuI
2
10
u
uJ2IuI
2
10
Rk
λ
Rπ2u Rk
λ
Rπ2u mit
x
y
R
drehsymmetrisches Beugungsbild o.B.d.A. y , x 0
Besselfunktionen: „Winkelfunktionen” (sin, cos) für Polarkoordinaten
1n2
u
2
u
1kn!k
1
dncoseπ
iuJ
n
n0uk2n
0k
k
π
0
cosuin
n
( nℤ, uℂ\],0] )
( nℝ\{1,2,} )
asymptotisch ( u ): 23
uucosuπ
2uJ 4
π2πn
n O
J0
J1
J2J3
J4
u
Die ersten Besselfunktionen
u
uJ2IuI
2
10
u
uJ2IuI
2
10
Rk
λ
Rπ2u Rk
λ
Rπ2u mit I
uu1 u2 u3
I01735,10u
0156,7u
8317,3u
3
2
1
u
Breite des Hauptmaximums:
λ
Rπ2u2u 1
R
λ22,1
R
λ
π
u1
2.3.3. Beugung am Gitter ( Fraunhofer-Grenzfall )
Tafelrechnung
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
mit
b
d
N Spalte
b
x ≪ 1
x
0
d
1N
0j
bdj
dj
xkiykiyx
xy edxedy,E
y xE
Beugung am EinzelspaltN-Strahl-Interferenz der N Einzelspalte (analog Fabry-Perot)
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
a) b 0: Reine N-Strahl-Interferenz
0II
λ
d
π
ux
d
6N N 2
Neben-maxima
Ordnung der Hauptmaxima
0 1 212
b) b 0: Interferenz der Beugungswellen der N Spalte
0II
λ
d
π
ux
d
d6,0b
6N
Modulationsfunktion Beugungsmuster
des Einzelspalts
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
2
kd
λ
dπu
2
kb
λ
bπu
xxd
xxb
Linientrennung ( Auflösungsvermögen für Wellenlängenmessung )
0II
λ
d
π
ux
d
6N
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
usin
uNsin
u
usin
N
II
d2
d2
2b
b2
20
x
0x dλ
x dλ
x
dNλ
x dNλ2
x dN
λx
Trennung benachbarter Hauptmaxima:
Breite eines Hauptmaximums:
dλ
x
dNλ2
xε 12
N
ε
Δ
x
x
2.3.4. Die Fresnelsche ZonenplatteFresnelbeugung quantitativ blinde Numerik per Computerhier: semiquantitative Betrachtung physikalisches Verständnis
Definition: Die n-te Fresnel-Zone ist der Ring mit n1 n (wobei 0 0), für den die Strahlen von S gerade einen maximalen Gangunterschied von 2 besitzen.
oder kurz:2
λnδδ
zS P0R r
n
n n
R,rδδ,
zS P0R r
n
n n
2
λnδδ
r2
ρ222n
2
R2ρ222
n2
2n
2n
δδr2rδrρr
δδR2RδRρR
R,rδδ,
r
1
R
1
2
ρδδ
2
λn
2n
λRr
Rrnρn
S1
S2
S3
S4
Fläche der n-ten Zone:
λπρρπS RrRr2
1n2nn
konstant ( unabhängig von n )
1S
S1
S2
S3
S4
n1
n1 n1
2
λ1nδδ
zS P0R r
R,rδδ,
dy dxδr
e
δR
ecos,θcosCE
δrkiδRki
S
n
n
n
rkiRki
1n1nδδki S
δr
e
δR
ecos,θcosCe
1,1Ccosθcos 1n1n21
1ee 1nπ1nik1ni 2λ
1n1n cosθcosrR
S1
S2
S3
S4
n1
n1 n1
2
λ1nδδ
zS P0R r
R,rδδ,
Sr
e
R
e1,1Ccos,θcosf1E 1
rkiRki
1n1n1n
n
E1
cos,θcosfE1 1n1n11n
alternierende Amplituden
mit n langsam abnehmende Beträge
S1
S2
S3
S4
cos,θcosfE1E 1n1n11n
n cos,θcosfE1E 1n1n11n
n
N
1jjE
N
1E
121 E
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Grenzwert
Folgerungen:
• Volle Apertur: 214
12
2E200
P EEI 1
• Lochblende S1: 0
PP
2021P I4IE4EI
• Lochblende S1 S2: 0IP
• Abdeckung S1: Poisson-Fleck 0PP
214
12
102 IIEEEE
S1
S2
S3
S4
Fresnelsche Zonenplatte: Abdeckung von S2, S4, S6,
konstruktive Interferenz der offenen Zonen, 0PP II
R Brennweite f r wobei rλnλRr
Rrnρ
R
n
Hauptbrennpunkt: λ
ρf
21
λ
ρf
21 Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen
cos,θcosfE1E 1n1n11n
n cos,θcosfE1E 1n1n11n
n
N
1jjE
N
1E
121 E
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Grenzwert
Zonenplatte aus Germanium Röntgenlinse
Zentrum
Randbereich äußere Ringe 30 nm breit
2.3.5. Das Babinetsche Prinzip
Zwei komplementäre Blendenöffnun-gen erzeugen identische Beugungsbil-der in allen Raumbereichen, die vom einfallenden Licht bei Abwesenheit der Blenden nicht beleuchtet werden.
Lichtwelle
P 0E 0
Beweis: Superpositionsprinzip 021 EEE 21210 IIEE0E q.e.d.
P 1EBlende
P 2Ekomplementäre
Blende
P2
3.3.6. Räumliches Auflösungsvermögen
P1
S1
S2
2 Quellpunkte
BildebeneH1 H2
optisches System
G
g
I
Rayleigh-Kriterium: S1 und S2 heißen gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des Beugunsscheibchens von S1 im ersten Minimum des Beugungsscheibchens von S2 liegt.
I
2Dλ1,22
Bθ
minmin
Dλ22,1
B21
min
δθ gδG
θδθ
minmin
Dλ22,1
B21
min
δθ gδG
θδθ
Winkelauflösung:
Ortsauflösung:
1
minG
1
minθ
GδR
θδR
Gute Auflösung erfordert kleine Wellenlänge und große Aperturöffnung
Aperturblende
( Eingangspupille )
D
Beispiel: Das Fernrohr
D
ObjektivlinseOkularlinse
Filter
Stern 2
Stern 1D
λ22,1minδθ D
λ22,1minδθ
Beispiel: Das Auge
Pupille: D 1 8 mm
Linse: f 24 mm
0,4 0,7 m
13,23,0θδ
nm550
min
O
Beugungsscheibchen: μm7θδf min ( Lichtrezeptoren (Stäbchen) haben tatsächlich etwa diesen Abstand voneinander )
Deutliche Sehweite: cm25g
μm70θδgGδ minmin
Beispiel: Das Mikroskop
22,122,1Gδ Dnfλ
Dfλ
min0 22,122,1Gδ Dnfλ
Dfλ
min0
f
Dsin 2
1
2α
2α
021
min
sinn.A.NN.A.
λ22,1Gδ
Numerische Apertur
Lichtstärke des ObjektivsFaustregel: Prinzipielle Grenze der Auflösung bei ½
S1
S2
G
g f
Objektivlinse, f
D
Immersionsöl, n
Zwischenbildebene
b t Tubuslänge
Okular (Lupe)
Objektebene
0
0n1 λλ
2.3.7. Abbesche Theorie der Abbildung
Wann sind die Doppelspalte noch als zwei Spalte auflösbar?
Bildebene
S1
S2
Doppelspalt
d
g
Aperturblende
D
P2
P1
H1 H2
optisches System0. Ordnung1. Ordnung
1. Ordnung
1. Fall: Aperturblende lässt nur 0. Beugungsordnung durch heller, strukturloser Fleck kein Interferenzmuster d nicht messbar.
2. Fall: Aperturblende lässt mindestens auch 1. Beugungsordnung durch charakteristisches Interferenzmuster d messbar.
Anwendung der Abbe-Theorie auf Scheibchen des Durchmessers Gmin:
g22,1Gδ22,1D Dλ
minGδgλ
min
identisch mit Rayleigh-Kriterium!
1. Ordnung
minGδλ22,1 0. Ordnung
1. Ordnung
Gmin
2.4. Instrumente und Methoden
2.4.1. Spektrographen Messung von I()
a) Interferometer: -abängige Transmission (z.B. Fabri-Perot-Interferometer)
a) Spektrograph: räumliche Trennung verschiedener Wellenlängen z.B. Prismenspektrograph: -abhängige Brechung z.B. Gitterspektrograph: -abhängige Beugung
c) Monochromator: Spektrograph mit Selektionsspalt
Begriffe:
sehr viele Typen und Varianten
Prinzip des Prismenspektrographen:
Geometrische Optik VL
λd
nd
sinn1
sin2
λd
δd
2γ22
2γ
λd
nd
sinn1
sin2
λd
δd
2γ22
2γ
(symmetrischer Strahlengang)
λd
δdf
λd
xd
λd
δdf
λd
xd
1
2
x
f
n
Licht-quelle Spalt
Basislänge des ausgeleuchteten
Prismas
b
1
Schirm / Detektor
x
Prinzip des Gitterspektrographen ( hier: Strichgitter ):
Licht-quelle
SpaltGitter
Strichabstand df
x
m
Hauptmaximum, m-te Beugungsordnung
Schirm / Detektor
1
2
xm
Kap. 2.3.3. d
λmθ m
d
λmθ m
d
fm
λd
xd
d
m
λd
θd mm
2.4.2. Spektrales AuflösungsvermögenProblem: Für welches sind die Bilder der Wellenlängen 0 und gerade noch trennbar? Verwende Rayleigh-Kriterium!
I
Bild für 0Bild für
Der maximale optische Gang-unterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellen-länge verschoben. Eintrittspupille
( Strahlbreite )
HauptmaximumL0
erstes MinimumL L0
Beugungsbild
DD
Beugung an Eintrittspupille D
Der maximale optische Gangunterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellenlänge verschoben
00 λpλL
λpλL λ1pλL
Folgerung:
1λ
λL
λ
λL
0
0
1λ
λL
λ
λL
0
0
0λδmit λδλλ 0
0
0
λ0λ0
0
λ
λL
λd
Ld
λ
1
λ
λL
d
d
λ
λL
λ
λL
λδ
1
00
Beachte:
1
0λ
0
λ
L
λd
Ld
λδ
λ
Spektrales Auflösungsvermögen:
00 λ1pλL
I
Bild für 0Bild für
00 λλd
nd
λλdLΔd b
0λ
0
λ
L
λd
Ld
λδ
λ
Spektrales Auflösungsvermögen:
Beispiel: Prismenspektrograph
n
bStrahlengang der geometrischen Optik
bei Wellenlänge 0 Hauptmaximum
2Fermatsches Prinzip L0 L20
0λL 0
Wege (1,2) im Prisma nicht gemäß geometrischer Optik (Beugung):λ λδbbλnbλnλLλL
0λdnd
0022
λδλLΔ0λλd
LΔd0 0
λLλLλL 12 0
20
1 λLλL Spektrales Auflösungsvermögen
des Prismenspektrographen:
0λ
0
λd
λndb
λδ
λ
Beispiel: Gitterspektrograph
Gitter mit N Strichspalten, Strichabstand d
Strahlengang der geom. Optik
( L 0 )
m-tes Beugungs-Maximum des Gitters bei 0
Nd
m
.m
L
Ablenkungsrichtung m fest
0
d
Ld
.constθsindNL m
Nmλδ
λ0 Spektrales Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen mit N ausge-
leuchteten Spalten in Beugungsordnung m
0λ
0
λ
L
λd
Ld
λδ
λ
Spektrales Auflösungsvermögen:
d
mdNL
d
msin 00
m
Nm
λ
λLΔ
0
0
2.4.3. Holographie
Foto:
inkohärente Lichtquelle
Objekt ( Motiv
)
Streu-/ Reflexionslicht
Objektiv-Linse
Fotoplatte / Film / Netzhautin (x,y)-EbeneI(x,y) Schwärzung des Negativs
Erregung der Lichtrezeptoren
Ein Foto stellt eine zweidimensionale Projektion des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist verloren.
( Auswege: Stereoskopische Fotographie; belebte Natur: Beobachtung durch mindestens zwei Augen )
Hologramm:
Objekt
Streu-/ Reflexionslicht
Fotoplatte in (x,y)-Ebene
Ein Hologramm stellt eine dreidimensionale abstrakte Codierung des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist in dem
Interferenzmuster von Referenz- und Objektwelle verborgen. Das Bild ist keine optische Abbildung.
kohärente Lichtquelle
( Laser )
Strahlteiler
xy
z
Referenz-Welle
0k
I(x,y,) Schwärzung
r
Objektwelle ( eine harmonische
Komponente )
Sk
Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz-
und Objektwelle
Erfassung der dritten Dimension: relative Phase zwischen Referenz-
und Objektwelle
xy
z
Referenz-Welle
0k
I(x,y,)
r
Objektwelle
0yx
r
tωrkiexpAE 000
Referenzwelle: y,x0
tωx,yiexpAE SSS Objektwelle:
SSSS
0000
AAAA
AAAA
Nomenklatur:
Schwärzungsgrad der Fotoplatte Energiestromdichte I(x,y):
S02S
200
2
S00 EERe2AAεcEEεcyx,I
S0i
S02S
200 eAARe2AAεc
Interferenzterm Entfernungsinformation dritte Dimension
Beispiel: Hologramm eines ebenen Spiegels
Das Hologramm eines ebenen Spiegels ist ein Sinus-förmiges Beugungsgitter. Technische Anwendung
Fotoplatte in (x,y)-Ebene
kohärente Lichtquelle
(Laser)
Strahlteiler
xy
z
Referenz-Welle
0k
r
Objektwelle (ebene
Welle)
Sk
Spiegel
rky,x
rky,x
SS
00
rky,x
rky,x
SS
00
1α 2α
I d
21 αsinαsin
λd
21 αsinαsin
λd
Beispiel: Hologramm einer Punktquelle
Das Hologramm einer Punktquelle ist ein ,,Sinus-förmige” Fresnel-Zonenplatte. Technische Anwendung
Symmetrie Interferenzbild = f()
I
transparenter Film in (x,y)-Ebene
Lochblende Punktquelle
Referenzstrahl vom Strahlteiler
Referenzstrahl
d ≫
tωdki2d2
ktωi22
22S
tωi00
eρiexpd
1eρdkiexp
ρd
1tρ,E
etEtρ,E
.constρcosρI 02
dλπ .constρcosρI 0
2dλ
π
Fresnel-Zonen
Bemerkungen:
• Jeder Punkt des Hologramms enthält Informationen von dem gesamten, von diesem Punkt sichtbaren Teil des Objekts
• Größere Fotoplatte mehr ,,Rundum-Information”• Größere Fotoplatte mehr ,,Speicherfläche” pro Objektpunkt
höhere Auflösung
0S0S E%10EI%1I
• Intensität der Objektwelle ist unkritisch:
Beispiel:
Kontrast des Interferenzbildes:
5,1
9,0
1,1
EE
EE
I
I2
2
2
0S
2
0S
min
max
Rekonstruktion eines dreidimensionalen Bildes von einem Hologramm:
Laser
Rekonstruktions-Welle
Rk
0. Beugungs-Ordnung
Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y)
Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y)
Rekonstruktionswelle:
Transmission:
y,xIγTyx,T
tωrkiexpAE
cε1
0
RRR
0
SchwärzungskoeffizientTransmission des unbelichteten Films
1. Beugungs-Ordnung
reelles Bild
1. Beugungs-Ordnung
virtuelles Bild
Laser
Rekonstruktions-Welle
Rk
0. Beugungs-Ordnung
Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y)
Transmissionswelle:
tωrkkiexpAAAγ
tωrkkiexpAAAγ
EAAγTEy,xTE
S0RS0R
S0RS0R
R2S
200RT
durchlaufende Referenzwelle
virtuelles Bild (a)
reelles Bild (b)
(a) Objektwelle in Richtung virtuelles Bild0R1 kkk
(b) zeitlich rückwärts laufende Objektwelle in Richtung reelles Bild0R2 kkk