Post on 30-Aug-2019
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Komplexe Systeme ohnecharakteristische Längenskalaz.B. Risse in festen Materialien, Küstenlinien,Flussläufe und anderes..
•Skaleninvariante Systeme•Gebrochene Dimensionen•„Fraktale“
Historie
•Albrecht Dürer 15. Jahrhundert•Carl Friedrich Gauss 18. Jahrhundert•Georg Cantor, Helge v. Koch, Waclaw Sierpinski, 19./20. Jahrh. Gaston Julia, Felix Hausdorff•Benoit Mandelbrot 20. Jahrhundert
Konzept der Dimension in regulären Systemen
Systeme mit konstanter Dichte(z.B. lange Drähte, große dünne Platten, große gefüllte Würfel)
Änderung der Masse M mit der linearen Größe des Systems LM(L)
Kleiner Teil des Systems der linearenGröße b L (b<1)M(L) = bd M(L)
LösungM(L) = A Ld
Drähte: d=1Platte: d=2Würfel: d=3
2. Fraktale Geometrie
M(L/2) = 1/2 M(L)d = 1„eindimensional“
M(L/2) = 1/4 M(L)d = 2„zweidimensional“
M(L/2) = 1/8 M(L)d = 3„dreidimensional“
Deterministische Fraktale
n = 0L = L0
n = 1L1 = 1/3 L0L = 4/3 L0
n = 2L2 = 1/3 L1 = 1/9 L0L = 16/9 L0
Die Koch KurveLänge L(n) nach n Iterationen
n = 3L3= 1/3 L2 = 1/9 L1 = 1/27 L0L = 64/27 L0
Bei jeder Iteration n:
•Verringerung der linearen Maßeinheit um einen Faktor b = 1/3•Verringerung der Segmentlänge um einen Faktor 1/4•Vergrößerung der Länge L um einen Faktor 4/3
M (1/3L) = 1/4 M (L)
Fraktale Dimension
Vergleich der Gleichungen:
M(1/3L) = 1/4 M(L) M(bL) = bd M(L)
1/4 = (1/3)d d = log 4/log 3
d = 1,262 gebrochene Dimension („frangere“: lateinisch „brechen“)
Verallgemeinerung:
M(bL) = bdf M(L) = Aldf
df: fraktale Dimension des fraktalen Objekts oder Fraktals
Das Fraktal besitzt ein zentrales Objekt, das beijeder Iteration in verkleinerter Form wiederkehrt
Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianzn → ∞ L → ∞
Geschlossene Kurve: Unendliche Länge bei endlicher Fläche
n endlich:Grenzen in L: Lmin = L0; Lmax
Weitere Beispiele für deterministische Fraktale
Sierpinski Gasket
Objekt: Gleichseitiges Dreieck Teilung in vier gleichgroße Dreiecke Entfernen des mittleren Dreiecks
n = 5k = 9
Sierpinski Carpet
Objekt: Quadrate Teilung in n2 Quadrate Entfernen von k Quadraten
d f = log16 / log5 =1.723
d f = log3 / log2 =1.585
M 1n L
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= 1n2 − k
M (L)
d f = log(n2 − k) / logn
Sierpinski Sponge
Objekt: Würfel
Teilung in 3x3x3 = 27 kleinere WürfelEntfernen des zentrierten Würfels undseiner 6 nächsten Nachbarn
Reduzierung des Volumens bei jederIteration um den Faktor 20/27
n=1
d f = log20 / log3= 2.727
Dürer Pentagon
Jedes Pentagon wird bei jeder Iteration in sechs kleinere Pentagons und fünfgleichschenklige Dreiecke aufgeteilt, wobei die Dreiecke entfernt werden.
Die Längen der größeren Seite zur kleineren Seite der Dreiecke verhalten sich wie dergoldene Schnitt (proportio divina, golden ratio).
g = 1 / (2cos72 ) = (1+ 5) / 2
n=0
Reduzierung der Seiten des Pentagonsbei jeder Iteration um 1+g
n=1 n=2
M ( L1+ g
) = 16M (L) Fraktale Dimension des Dürer
Pentagons:
d f = log6 / log(1+ g) = 1,863
Das DürerPentagon nach fünfIterationen. DasDürer Pentagon istin blauer Farbe undsein externerPerimeter in roterFarbe dargestellt.
(M. Meyer)
Davids - Stern
Reguläre Sechsecke
Bei jeder IterationAufteilung einesSechsecks in sechskleinere Sechsecke
n=0 n=1 n=2
d f log6 / log 3
Fraktale Dimension:
Mandelbrot Fraktal
Wichtig bei der Diskussion des PerkolationsclustersElemente: Linien, Schleifen, offene Enden
Generation
1 2 3
Nach jeder Generation wird ein Längensegment derLänge a durch 8 Segmente der Länge a/3 ersetzt
Fraktale Dimension: d f = log8 / log 3 = 1,893
Perkolation in 2 Dimensionen: d f = 91 / 46 = 1,896
Gerüst↔ Enden des Mandelbrot Fraktals:Singuläre Verbindungen: rote VerbindungenFraktale Dimension des Gerüsts:Fraktale Dimension der singulärenVerbindungen:
db = log6 / log 3 = 1,63
drot = log2 / log 3 = 0,63
Cantor SatzNicht verbundene Fraktale („fractal dust“)
Ein Einheitsintervall wird in drei Teile aufgeteilt,wobei das mittlere Teil entfernt wird. usf.
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
M 13L⎛
⎝⎜⎞⎠⎟=12M (L)
Fraktale Dimension: d f = log2 / log 3 = 0.631<1
Wichtig bei der Behandlung chaotischer Systeme.
Bestimmung der fraktalen Dimensionen
„Sandbox Methode“
Wahl eines Aufpunktes des fraktalen Objekts
Zeichnen von n Kreisen mit den Radien R1< R2<...< Rn(Rn kleiner als Abmessung des fraktalen Objekts)
Abzählen der Punkte (Pixel) M1 (Ri) innerhalb jedes Kreises i
Wiederholen dieser Prozedur für anders gewählte Aufpunkte (insgesamt m Aufpunkte)
Wiederholen dieser Prozedur für anders gewählte Punkte Mj(Ri), j=2, 3, .....,m innerhalbjedes Kreises
Mittlere Zahl der Punkte M(Ri) innerhalb jedes Kreises durch Mittelwertbildung
M Ri⎛⎝
⎞⎠ =
1m M j Ri
⎛⎝
⎞⎠j =1
m∑
Auftragen M(Ri) als Funktion von Ri in einemdoppellogarithmischen Diagramm
Die Steigung der Kurve gibt dann die fraktaleDimension.
„Box Counting Methode“
Erstellung eines Gitternetzes über das fraktale Objektmit N2 Quadraten
Bestimmung der Zahl der Quadrate S(N1), dienotwendig ist, um das fraktale Objektvollständig zu überdecken.
Verfeinerung der Netzgröße mit
N12< N2
2<N32<....<Nm
2
Berechnung der Zahl der Quadrate S(N1)....S(Nm), dienotwendig sind, um das fraktaleObjekt zu überdecken.
S(N) ≈ N-dfN−d f
Die fraktale Dimension df ergibt sich aus der Steigung derGeraden, wenn man S(N) alsFunktion von 1/N doppellogarithmisch aufträgt.
„Sandbox Method“
„Box Counting Method“
Gleichmäßig strukturierter Gang
Messung der fraktalen Dimension eines natürlichen Fraktals
Digitalisierung des Randes
Wahl der Schrittlänge (n=22)
Bestimmung der Seitenlänge(z.B. Satz des Pythagoras)
∆ : Auflösung
FD: Feret - Durchmesser (maximaler Durchmesser)
Normierung der PolyglonAbschätzung auf FD
Konstruktion desRichardson - Plots
Richardson Plot für Triadische und Quadratische Flocke
Bestimmung der fraktalen Dimension für deterministische Fraktale mit dem Verfahrendes strukturierten Gangs
104
103
102
101
100
10-6 10-4 10-2 100
Umfang, normiert auf die Seitenlänge in derAusgangssituation
Bere
chne
ter
Um
fang
Analytische Bestimmungder fraktalenDimension:
•Quadratische Flocke: df = 1.50
•Triadische Flocke: df = 1.26