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Karlsruhe Institute of Technology
KIT – University of the State of Baden-Wuerttemberg and
National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu
1. Vorlesung Partielle DifferentialgleichungenWolfgang Reichel
Übersee-Vorlesung aus Oaxaca, Mexiko, 19. Oktober 2010
Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyInhaltsübersicht
1. Einführung: Notation und Beispiele
2. Laplace- und Poissongleichung
3. Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung
4. Wellengleichung
5. Methode der Charakteristiken (Gleichungen 1. Ordnung)
2/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of Technology1. Einführung: Notation und Beispiele1.1. NotationΩ ⊂ Rn sei offen. u : Ω→ R sei eine Funktion. Schreibweise: u(x) bzw.u(x1, x2, . . . , xn).
Falls alle partielle Ableitungen der Ordnung ≤ k ∈ N existieren undstetig sind so schreibt man:
u ∈ Ck (Ω)
C0(Ω) = Menge der auf Ω stetigen Funktionen
∂u∂xi
, uxi , i = 1, . . . , n partielle Ableitung 1.Ordnung nach xi
∂2u∂xj∂xi
, uxi xj , i, j = 1, . . . , n partielle Ableitung 2.Ordnung nach xi , xj
Reihenfolge erheblich? Satz von Schwarz: u ∈ C2(Ω)⇒ uxi xj = uxj xi
3/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyGradient, Hesse-Matrix
Für u ∈ C1(Ω) heisst der Spaltenvektor
grad u = ∇u =
(∂u∂x1
, . . . ,∂u∂xn
)T
= (ux1 , . . . , uxn )T
Gradient von u (=Richtung des steilsten Anstiegs von u)
Für u ∈ C2(Ω) heisst die symmetrische n × n-Matrix
D2u =
ux1x1 · · · ux1xn...
. . ....
uxnx1 · · · uxnxn
=
∂2u∂x2
1· · · ∂2u
∂x1∂xn
.... . .
...∂2u
∂xn∂x1· · · ∂2u
∂x2n
Hesse-Matrix von u.
4/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyHöhere partielle AbleitungenWie beschreibt man effizient höhere partielle Ableitungen von u?Multiindex-Schreibweise
Definition (Multiindex)Ein Vektor α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn
0 mit ganzzahligen Einträgen heisstMultiindex. Die ganze Zahl
|α| = α1 + . . . + αn
heisst Ordnung des Multiindexes.Für u ∈ C |α|(Ω) heisst
Dαu :=∂|α|u
∂xα11 · · · ∂xαn
n
partielle Ableitung der Ordnung |α| zum Multiindex α.
5/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyBeispiele
n = 2, α = (0, 1)
Dαu =∂u∂x2
n = 3, α = (2, 0, 1)
Dαu =∂3u
∂x21∂x3
n = 4, α = (1, 1, 1, 1)
Dαu =∂4u
∂x1∂x2∂x3∂x4
6/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyVektorwertige FunktionenIst U : Ω→ Rl eine vektorwertige Funktion und U = (u1, . . . , ul)
T sobedeutet U ∈ Ck (Ω), dass u1, . . . , ul ∈ Ck (Ω) liegen.Ebenso:
DαU = (Dαu1, . . . ,Dαul)T
Divergenz: im Fall l = n
div U = ∇ · U =n∑
i=1
∂ui
∂xi= u1,x1 + · · ·+ un,xn
Rotation: im Fall l = n = 3
rot U = ∇ × U =
u3,x2 − u2,x3
u1,x3 − u3,x1
u2,x1 − u1,x2
=
∂u3
∂x2−∂u2
∂x3∂u1
∂x3−∂u3
∂x1∂u2
∂x1−∂u1
∂x2
7/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyIdentitäten zwischen rot, div, grad und ∆
Seien u : Ω→ R, U : Ω→ Rn C2-Funktionen. Es gilt
div grad u = ∇ · (∇u) =n∑
i=1
∂2u∂x2
i
= ux1x1 + · · ·+ uxnxn = ∆u
∆ =∑n
i=1∂2
∂x2i
heisst Laplace-Operator.
Für n = 3 giltrot(rot U) = grad(div U) −∆U
unddiv(rot U) = 0, rot(grad u) = 0.
8/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of Technology1.2. Was ist eine partielle DGl?
Pseudo-DefinitionEine partielle Differentialgleichung (pDGl) ist eine Gleichung, welcheFunktionswerte und partielle Ableitungen einer Funktion u : Ω→ Rl
enthält. Dabei ist Ω ⊂ Rn offen.
Beispiel: (Wellengleichung). n = 2, l = 1, Ω = R2. Sei
u :
R2 → R
(x, t) 7→ u(x, t)eine zweimal stetig differenzierbare Funtion
u heisst Lösung der Wellengleichung
(1) utt − uxx = 0
falls gilt: utt (x, t) − uxx(x, t) = 0 für alle (x, t) ∈ Ω × R.t =Zeit, x =Ort. (1) heisst eindimensionale Wellengleichung.
Alternative Schreibweise für (1):∂2u∂t2−∂2u∂x2
= 0.
9/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of Technology1.3. Woher kommen pDGlen?Welche Fragen stellen sich bei pDGlen?
Physik: Quantenmechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik,Elastizitätstheorie, Optik, Flüssigkeits- und Gasdynamik, Kristallbildung,Wasserwellen usw.
Biologie: Populationsdynamik, Musterbildung (Morphogenese),Räuber-Beute-Modelle, Ausbreitung von Krankheiten
Chemie: Reaktionskinetik, Reaktions-Diffusionsmodelle
Finanzmathematik: Bestimmung von Optionspreisen (Black ScholesModell), stochastische Differentialgleichungen
Geometrie: Bestimmung von Flächen vorgegebener mittlerer oderGaußscher Krümmung, Beweis der Poincaré-Vermutung
10/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyFragestellungen
Explizite Lösungen sind die Ausnahme!
Existenz von Lösungen
Eindeutigkeit oder Vielfachheit von Lösungen
Stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Daten
qualitative Aussagen über Lösungen; Verhalten für grosse Zeiten;Aussagen über die Gestalt der Lösungen
Bestimmung von Näherungen (-> Numerik)
11/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of Technology1.4. Beispiele von pDGLen(a) Transportgleichung:u(x, t) = Stoffkonzentration zur Zeit t ∈ R am Ort x ∈ Rn. u ∈ C1(Rn+1).
c ∈ Rn: Wind konstanter Stärke und Richtung
Sei D ⊂ Rn offen: M(D) = Stoffmenge in D zum Zeitpunkt t
M(D) =
∫D
u(x, t) dx =
∫D+cτ
u(x, t + τ) dx
wobei τ > 0 eine beliebige Zeitspanne ist(Annahme: nichts geht verloren, nichts kommt dazu)
M(D) =
∫D
u(x, t) dx =
∫D
u(x + cτ, t + τ) dx
Differentiation nach τ und Auswertung bei τ = 0:
12/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyTransportgleichung:
ddτ
∣∣∣∣∣τ=0
∫D
u(x, t) dx =ddτ
∣∣∣∣∣τ=0
∫D
u(x + cτ, t + τ) dx
0 =
∫D
n∑i=1
∂u∂xi
(x, t)ci +∂u∂t
(x, t)
dx
D ⊂ Rn beliebig:⇒
Transportgleichung: (2)n∑
i=1
ci∂u∂xi
(x, t) +∂u∂t
(x, t) = 0
Kurz:
C · ∇u +∂u∂t
= 0, C = (c1, . . . , cn)T = konstant
Verallg. Transportgleichung: (3)n∑
i=1
ci(x, t)∂u∂xi
(x, t) +∂u∂t
(x, t) = 0
13/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of Technology(b) Diffusions- bzw. Wärmeleitungsgleichungu(x, t) = Stoffkonzentration zur Zeit t ≥ 0 am Ort x ∈ Ω ⊂ Rn.u : Ω × [0,∞)→ R sei C1-Funktion.
DiffusionMechanismus, der Unterschiede in Stoffkonzentrationen ausgleicht.
Wir betrachten folgendens Modell für Diffusion:
F(x,t)
Ω
F(x, t) ∈ Rn: Richtung und Stärkeder Stoffzufuhr pro Zeiteinheitdurch x ∈ Ω zum Zeitpunkt tf(x, t , u(x, t)) ∈ R: Reaktionsterm.Gibt Erzeugungs- (f > 0) oderVernichtungsrate (f < 0) des Stoffesan der Stelle x zur Zeit t an. Kannabhängen von x, t sowie deraktuellen Stoffmenge u(x, t).
14/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyHerleitung der DiffusionsgleichungSei D ⊂ Ω ein Normalgebiet, ν=äussere Normal an ∂D
F(x,t)
Ω
D
ν(x)
ν(x)
∫D
u(x, t) dx =
Stoffmenge in D zum Zeitpunkt t
ddt
∫D
u(x, t) dx︸ ︷︷ ︸Änderung der Stoffmenge
= −
∮∂D
F(x, t) · ν(x) do︸ ︷︷ ︸Zufuhr/Abfluss durch ∂D
+
∫D
f(x, t , u(x, t)) dx︸ ︷︷ ︸Reaktionsterm
F · ν > 0: Abfluss, F · ν < 0: Zufuhr
15/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyHerleitung der Diffusionsgleichung – Forts.
ddt
∫D
u(x, t) dx︸ ︷︷ ︸Änderung der Stoffmenge
= −
∮∂D
F(x, t) · ν(x) do︸ ︷︷ ︸Zufuhr/Abfluss durch ∂D
+
∫D
f(x, t , u(x, t)) dx︸ ︷︷ ︸Reaktionsterm
Gaußscher-Integralsatz:————–↓∫D
∂u∂t
(x, t) dx =ddt
∫D
u(x, t) dx =
∫D
(− divx F(x, t)+f(x, t , u(x, t))
)dx
D ⊂ Ω beliebig⇒:∂u∂t
(x, t) = − divx F(x, t) + f(x, t , u(x, t))
Kurz:∂u∂t
= − divx F + f
16/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyModellierung der Diffusion
Bisher:∂u∂t
= − divx F + f
Diffusionsmodell: F ist proportional zu ∇u, d.h.
F(x, t) = −d ∇u(x, t), d = Diffusionskonstante > 0.
Ergebnis:
Diffusionsgleichung: (4)∂u∂t
= d∆u + f
wobei ∆=Laplace Operator in den Ortskoordinaten x1, . . . , xn ist.
17/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologySpezialfälle von ut = d∆u + f
(i) f ≡ 0; homogene Diffusionsgleichung (Wärmeleitungsgleichung)
(5)∂u∂t
= d∆u
(ii) f linear; lineare, inhomogene Diffusionsgleichung
f :
Ω × [0,∞) × R → R
(x, t , s) 7→ c(x, t)s + f0(x, t)
(6)∂u∂t
= d∆u + c(x, t)u + f0(x, t)
c(x, t) = relative Wachstums-/Vernichtungsratef0(x, t) = absolute Wachstums-/Vernichtungsrate
18/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyVergleich mit gewöhnlicher DGl
partielle DGl. (6)∂u∂t
= d∆u + c(x, t)u + f0(x, t)
gewöhnliche DGl. (6′) u = c(t)u + f0(t), u(0) = u0
Lösung der gewöhnlichen DGl.:
u(t) = u0e∫ t0 c(s) ds +
∫ t
0f0(τ)e−
∫ τt c(s) dsdτ
und falls c =konstant
u(t) = u0ect +
∫ t
0f0(τ)ec(t−τ)dτ
Gilt etwas Ähnliches für die partielle DGl.? Wir werden sehen....
19/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyDie 1-dimensionale Diffusionsgleichungn = 1, x1 < x. Betrachte das Intervall D = (x1, x). Hier bedeutet:
F(x1, t) > 0 Zufluß am Punkt x1, F(x, t) > 0 Abfluß am Punkt x
ddt
∫ x
x1
u(ξ, t) dξ = −F(x, t) + F(x1, t) +
∫ x
x1
f(. . .) dξ
=
∫ x
x1
∂u∂t
(ξ, t) dξ
Differentiation ddx :
∂u∂t
(x, t) = −ddx
F(x, t) + f(x, t , u(x, t))
Modellierung: F(x, t) = −d∂u∂x
(x, t)x x
F(x,t)>0 F(x,t)<0
1-dimensionale Diffusionsgleichung:∂u∂t
= d∂2u∂x2
+ f(x, t , u(x, t))
20/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyVerallgemeinerungenFluß F = F1 + F2
F1(x, t) = −d∇u(x, t), d = Diffusionskonstante
F2(x, t) = Cu(x, t), C = (c1, . . . , cn) ∈ Rn = Konvektionskonstante
∂u∂t
= d∆u − C · ∇u︸ ︷︷ ︸Transportterm
+f(x, t , u)
vgl. Transportgleichung.Sowohl die Diffusion- als auch die Konvektionskonstanten können vonx, t abhängen.Ferner: d = (dij)
ni,j=1 ist i.A. eine Matrix mit Koeffizienten dij(x, t).
(7)∂u∂t
= div(d(x, t)∇u
)− C(x, t) · ∇u + f(x, t , u)
Allgemeine Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichung21/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyKontext
In physikalischem, chemischem, biologischem Kontext:
u(x, t) =
Wärmemenge [(5) heisst auch Wärmeleitungsgleichung]Konzenration einer ChemikalieDichte einer Population
Der Diffusionsmechanismus (=Konzentrationsausgleich) kann in vieleModelle leicht eingebaut werden:
Logistische DGl.
u = u(α − βu)
u : [0,∞)→ Rgewöhnliche DGl.
Logistische DGl. mit Diffusion
(8)∂u∂t
= d∆u + u(α − βu)
u : Ω × [0,∞)→ Rpartielle DGl.
22/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Karlsruhe Institute of TechnologyDiffusion beim Räuber-Beute ModellRäuber-Beute Modell u = u(a − bv)
v = v(−c + du)
gekoppeltes System gewöhnlicherDGlen.
Räuber-Beute Modell mit Diffusion∂u∂t
= d1∆u + u(a − bv)
∂v∂t
= d2∆v + v(−c + du)
gekoppeltes System partiellerDGlen.
DiffusionDiffusion = Mobilität der Population, d.h. Mitglieder der Populationtendieren dazu, Stellen hoher Konzentration von Artgenossen zuverlassen und sich zu Stellen niedrigerer Konzentration zu bewegen.
Achtung: in manchen Modellen ist man am genauen Gegenteilintersessiert. Konzentrationphänomene bzw. Rudelbildung!
23/23 19. Oktober 2010 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis