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11
Geometrische Algebra Geometrische Algebra (GA)(GA)
Werner Benger, 2005Werner Benger, 2005
22
33
Abgeschlossene Vektoralgebra?Abgeschlossene Vektoralgebra?
Invertierbares Produkt von Vektoren?Invertierbares Produkt von Vektoren?Was bedeutet Vektordivision “Was bedeutet Vektordivision “aa//bb”” ??
aabb=C =C bb==aa-1-1CCBeachte: C nicht notwendigerweise Vektor!Beachte: C nicht notwendigerweise Vektor!
Inneres Produkt (nicht assoziativ): Inneres Produkt (nicht assoziativ): aabb Skalar Skalar Nicht invertierbarNicht invertierbar
z.B. z.B. aab b =0 mit =0 mit aa≠≠0, 0, bb≠≠00 aber orthogonal aber orthogonal
Äusseres Produkt (assoziativ): Äusseres Produkt (assoziativ): aabb Bivektor Bivektor Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: aabb Nicht invertierbarNicht invertierbar
z.B. z.B. aab b =0 mit =0 mit aa≠≠0, 0, bb≠≠00 aber parallel aber parallel
Multiplikation von Vektoren
44
Bivektoren Bivektoren aabb
Beschreibt die durch Beschreibt die durch aa und und b b aufgespannte aufgespannte Fläche, Vorzeichen ist OrientierungFläche, Vorzeichen ist Orientierung
aabb bba a = -= -aabb
Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch (Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch ( nicht nicht kommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Strukturkommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Struktur
Multiplikation von Vektoren
55
Konstruktion von BivektorenKonstruktion von Bivektoren
Kein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglichKein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglich
aab b = = ((aa++λλbb))bb
aa++λλbb
bb
==
==
bbb b ==00
BasiselementBasiselement||aa|| ||bb| | sin sin
Multiplikation von Vektoren
66
Bivektoren im RBivektoren im R33
3 Basiselemente3 Basiselementeeexxeeyy, , eeyyeezz, , eezzeexx
Erweiterung: Erweiterung: eexxeeyyeezz ist Volumen ist Volumen
Multiplikation von Vektoren
77
Anforderung an Anforderung an das Geometrische Produktdas Geometrische Produkt
Für Elemente Für Elemente AA,,BB,,CC eines Vektorraumes mit eines Vektorraumes mit quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v soll gelten:soll gelten:
1.1. Assoziativ: (Assoziativ: (AABB))CC = = AA((BBCC))
2.2. Links-distributiv: Links-distributiv: AA((BB++CC) = ) = AABB++AACC
3.3. Rechts-distributiv: (Rechts-distributiv: (BB++CC))AA= = BBAA++CCAA
4.4. Skalarprodukt: Skalarprodukt: aa22 = Q( = Q(aa) ) 11 | |aa||22
Das Geometrische Produkt
88
Eigenschaften des GPEigenschaften des GP
Satz von Pythagoras:Satz von Pythagoras: ||aa++bb||22 = | = |aa||22+|+|bb||22
((AA++BB)()(AA++BB) = ) = AA22 + + BB22
==AAAA++AABB++BBAA++BBBB
AABB = - = -BBAA für für AABB = 0 antisymm. wenn orthogonal= 0 antisymm. wenn orthogonal
Jedoch: nicht rein antisymmetrisch wegenJedoch: nicht rein antisymmetrisch wegen
||AABB||22 =|=|AA||2 2 ||BB||22 für für A ABB = 0 (d.h. = 0 (d.h. AA,,B B colinear: colinear: BB==AA))Das Geometrische Produkt
99
Geometrisches ProduktGeometrisches Produkt
William Kingdon Clifford (1845-79): William Kingdon Clifford (1845-79): Zusammenlegen von innerem und äusserem Zusammenlegen von innerem und äusserem Produkt zu geometrischem Produkt Produkt zu geometrischem Produkt AAB B (1878):(1878):
AABB :=:= A ABB AABB
Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor!Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor!
Operiert auf “Multivektoren”Operiert auf “Multivektoren”
Untermenge der TensoralgebraUntermenge der Tensoralgebra
Geometrisches Produkt ist invertierbar!Geometrisches Produkt ist invertierbar!
Das Geometrische Produkt
1010
MultivektorkomponentenMultivektorkomponenten
RR22: : AA = = AA00 + + AA11 e e00 + + AA22 e e11 + + AA33 e e00ee11
RR33: : AA = =
AA00
+ +
AA11 e e00 + + AA22 e e11 + + AA33 e e2 2
++
AA44 e e0 0 ee11++AA55 e e1 1 ee22++AA66 e e0 0 ee22
++
AA77 e e0 0 ee1 1 ee22
Struktur von Multivektoren
2.7819…
++ ++
++ ++
++
++
++
1111
Struktur von MultivektorenStruktur von Multivektoren
Linearkombination antisymm. Potenzen - 2Linearkombination antisymm. Potenzen - 2n n KomponentenKomponenten
0D 1 Skalar
1D 1 Skalar, 1 Vektor
2D 1 Skalar, 2 Vektoren, 1 Bivektor
3D 1 Skalar, 3 Vektoren, 3 Bivektoren, 1 Volumen
4D 1 Skalar, 4 Vektoren, 6 Bivektoren, 4 Volumen, 1 Hypervolumen
5D …
Struktur von Multivektoren
1212
UmkehrungUmkehrung
Vektoren Vektoren aa,,bb::
aab b = = ½ (½ (aab b ++ b baa)) symmetrischer Anteil symmetrischer Anteil
aab b = = ½ (½ (aab b -- b baa) ) antisymmetrischer antisymmetrischer AnteilAnteil
aab b = -(= -(aabb)) ( (eexxeeyyeezz) Dual in 3D) Dual in 3D
Rechnen mit Multivektoren
1313
Reflexion an einem VektorReflexion an einem Vektor
Einheitsvektor Einheitsvektor nn, Vektor v , Vektor v vv┴┴++vv║║
Vektor v auf n projiziert: Vektor v auf n projiziert: vv║║=(v =(v n) n n) n
Reflektierter Vektor Reflektierter Vektor w = w = vv┴┴ – – vv║ ║ = v – 2= v – 2vv║║
somit somit w = v – 2(v w = v – 2(v n) n n) n
mit GP w = v – 2[mit GP w = v – 2[½½(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn
w = -nvnw = -nvn
Rechnen mit Multivektoren
1414
Geometrisches QuadratGeometrisches Quadrat
Betrachte (Betrachte (AABB))22 von Bivektorbasiselement von Bivektorbasiselement mit |mit |AA|=1, ||=1, |BB|=1, |=1, AABB = 0= 0
AABB==AABB=-=-BBAA
((AABB))2 2 = (= (AABB) () (AABB) = -() = -(AABB) () (BBAA)=-)=-AA((BBBB)) A A== -1-1
BasiselementBasiselement
Rotation
1515
Quaternionen Algebra mittels GAQuaternionen Algebra mittels GA
In 2D: Komplexe ZahlenIn 2D: Komplexe Zahleni:= i:= eexxeeyy, , i i2 2 = -1= -1
In 3D: QuaternionenIn 3D: Quaternioneni:= i:= eexxeeyy= = eexxeeyy, j:= , j:= eeyyeez z = = eeyyeezz, k:=, k:=eexxeezz==eexxeezz
ii2 2 = -1, j= -1, j2 2 = -1 , k= -1 , k2 2 = -1= -1
ijk = (ijk = (eexxeeyy)()(eeyyeezz)()(eexxeezz) = -1) = -1
In 4D: BiquaternionenIn 4D: Biquaternionen
Rotation
1616
Multiplikation von Multiplikation von Vektoren und BivektorenVektoren und Bivektoren
Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW)Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW)eex x i = i = eex x ((eexxeeyy) = () = (eexxeex x )) eeyy= = eeyy
==
eey y i = i = eeyy((eexxeeyy)=-)=-eeyy((eeyyeexx)= -)= -eexx
==
Rotation
1717
Allgemeine Rotation in 2DAllgemeine Rotation in 2D
Mehrfache RotationMehrfache Rotationeex x i i = (i i = (eex x i) i = i) i = eey y i = -i = -eex x = -1 = -1 eex x
Beliebiger Vektor: Beliebiger Vektor: (A(Axx eex x + A+ Ay y eeyy) i = A) i = Axx eex x ii + A+ Ay y eey y i = Ai = Axx eeyy - A- Ay y eexx
Rotation um beliebigen Winkel:Rotation um beliebigen Winkel: AA cos cos + + A iA i sin sin ≡≡ “ “AA e e ii” ”
rotiert Vektor A um Winkel rotiert Vektor A um Winkel in in FlFlääche iche i
Rotation
1818
RotorRotor
RotorRotor R:=eR:=eii =cos=cos + + ii sin sin mit mit ii Bivektor, Bivektor, i²=-1i²=-1 RR-1-1=e=e--ii =cos=cos - - ii sin sin inverser Rotorinverser Rotor In 2D In 2D ääquivalent: v Rquivalent: v R-2 -2 = R= R2 2 v = R v Rv = R v R-1-1
Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil:Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil:Rv = v Rv = v coscos + sin + sin ( (ii v + v + ii v v ))
R v RR v R-1 -1 = = vv┴ ┴ + e+ eii vv║ ║ ee--i i == vv┴ ┴ + + vv║ ║ ee-2-2ii
wegen iwegen ivv┴┴ = 0 = 0 R R vv┴ ┴ RR-1 -1 == vv┴┴
Produkt von Rotoren ist mehrfache RotationProdukt von Rotoren ist mehrfache Rotation R=ABCD, RR=ABCD, R-1-1=DCBA ist “reverse” von R=DCBA ist “reverse” von R Rotor anwendbar auf beliebige MultivektorenRotor anwendbar auf beliebige Multivektoren
Rotation
ii
1919
SymmetrienSymmetrien
Mehrfachreflexionen an rMehrfachreflexionen an r11,r,r22,r,r33, … sind , … sind HintereinanderausfHintereinanderausführung von Vektoren:ührung von Vektoren: rr33rr22rr1 1 v rv r11rr22rr3 3 (nicht m(nicht mögl. mitögl. mit Quaternionen) Quaternionen)
Symmetriegruppen in MolekSymmetriegruppen in Molekülen und ülen und Kristallen sind charakterisiert durchKristallen sind charakterisiert durch drei Einheitsvektoren drei Einheitsvektoren aa,,bb,,cc ganzzahliges Triplet ganzzahliges Triplet {p,q,r}{p,q,r} mit mit ((abab))pp = ( = (bcbc))qq = ( = (caca))rr = -1 = -1z.B.: Methan (Tetraeder) {3,3,3}, Benzol {6,2,2}z.B.: Methan (Tetraeder) {3,3,3}, Benzol {6,2,2}
2020
DifferentalgeometrieDifferentalgeometrie
Ableitungsoperator:Ableitungsoperator:
:= := eeμμ μμ mit mit μμ==//xxμμ, e, eμμee==μμ
Anwendbar auf beliebige MultivektorenAnwendbar auf beliebige Multivektoren
z.B.: mit z.B.: mit vv Vektorfeld: Vektorfeld:vv = = vv + + vvmit mit vv Gradient (Skalar) Gradient (Skalar)
und und vv Rotation (Bivektor) Rotation (Bivektor)
2121
Maxwell in 3DMaxwell in 3D
Faraday-Feld: F = Faraday-Feld: F = EE + + B B :=:=eexxeeyyeezz
Stromdichte: J = Stromdichte: J = - - jj Maxwell-Gleichung: Maxwell-Gleichung: F/ F/ tt + + F = JF = J
F = F = EE + + B B = = E E + + EE + + BB + + BBSkalar : Skalar : EE = = Vektor : Vektor : E E / / tt + + BB = -= -jj
Bivektor: Bivektor: BB / / tt + + EE = 0= 0
Pseudoskalar: Pseudoskalar: BB = 0= 0
2222
ClCl33(R) & Spinoren(R) & Spinoren
GA in 3D ist reprGA in 3D ist reprääsentierbar durch Paulimatrizen:sentierbar durch Paulimatrizen:
4 komplexe Zahlen 4 komplexe Zahlen 8 Komponenten = 2 8 Komponenten = 233
Basisvektoren {Basisvektoren {eexx,,eeyy,,eezz} mit GP haben gleiche } mit GP haben gleiche algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen {algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen {xx,,yy,,zz}}Pauli-Spinor Pauli-Spinor (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten) (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten)wegen wegen *=*= reell: reell:
= = ½½ e eBB
ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), d.h. d.h. ist eine “Anweisung” zu strecken und zu rotieren ist eine “Anweisung” zu strecken und zu rotieren beschreibt Interaktion mit dem Magnetfeldbeschreibt Interaktion mit dem Magnetfeld
0 1
1 0
0 -i
+i 0
1 0
0 -1x x = = (( )) y y = = (( )) z z = = (( ))
2323
Spacetime Algebra (STA)Spacetime Algebra (STA)
GA in 4D mit Minkowski-Metrik (+,-,-,-)GA in 4D mit Minkowski-Metrik (+,-,-,-)
WWäähle orthogonale Basis {hle orthogonale Basis {00, , 11, , 22, , 33} } Mit 2Mit 2μμνν = = μμνν+ + ννμμ= 2= 2ηημνμν d.h. d.h. 00
22 = -= -kk
22 = 1 = 1
Struktur: 1,4,6,4,1 ( nStruktur: 1,4,6,4,1 ( n44 , 16-dimensional ) , 16-dimensional ) Bivektor-Basis: Bivektor-Basis: k k := := kk 00
Pseudoskalar: Pseudoskalar: 00 11 2 2 3 3 = = 112233
1 {1 {μμ} {} {kk, , kk} {} {μμ} } 1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar
2424
Basis-Bivektoren der STABasis-Bivektoren der STA
kk: 3 zeitartige Bivektoren: 3 zeitartige Bivektoren
k k : 3 raumartige Bivektoren: 3 raumartige Bivektoren
xxyy
zz
x x yyzz
2525
Struktur von BivektorenStruktur von Bivektoren
Beliebiger Bivektor darstellbar Beliebiger Bivektor darstellbar als als
B = BB = Bkkkk = a = ak k kk + + bbkkk k = = aa + + bb a,ba,b: 3-Vektoren (relativ zu: 3-Vektoren (relativ zu 00)) aa zeitartiger Anteil zeitartiger Anteil bb raumartiger Anteil raumartiger Anteil
Einteilung inEinteilung in ““komplexer” Bivektor:komplexer” Bivektor:
keine gemeinsamen Richtungen, keine gemeinsamen Richtungen, spannt vollen Raum aufspannt vollen Raum auf
““simpler” Bivektor:simpler” Bivektor:eine Richtung gemeinsam, eine Richtung gemeinsam,
reduzierbar auf einzelnes reduzierbar auf einzelnes “Blatt”“Blatt”
2626
Spacetime-RotorSpacetime-Rotor
Raumzeit-Rotor: R = eRaumzeit-Rotor: R = eBB =e =ea+a+b b e e|B| B/|B||B| B/|B|
R = eR = eaa++bb= = eeaaeebb = = [cosh a + sinh a ][cosh a + sinh a ] [ cos b + [ cos b + sin b ] sin b ] = =
[cosh |a| + a/|a| sinh |a| ][cosh |a| + a/|a| sinh |a| ] [cos |b| + [cos |b| + b/|b| sin|b| ] b/|b| sin|b| ]
Interpretation:Interpretation:Rotation in raumartiger Ebene Rotation in raumartiger Ebene bb um Winkel um Winkel |b||b|
Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene aa==aa 0 0
mit “Boost-Faktor” (Geschwindigkeit) mit “Boost-Faktor” (Geschwindigkeit) tanhtanh|a||a|
Lorentz-Transformation in Lorentz-Transformation in aa , , 00 !!
2727
Maxwell Gleichungen in 4DMaxwell Gleichungen in 4D
Vierdimensionaler Gradient Vierdimensionaler Gradient := := μμμμ
Elektromagnetisches 4-Potential A:Elektromagnetisches 4-Potential A: F = F = A = A = A - A - AA
wobei wobei A=0 in Lorentz-EichungA=0 in Lorentz-Eichung
Faraday-Feld: F = (E + Faraday-Feld: F = (E + B) B) 0 0
Reiner Bivektor (vgl. 3D), jedoch komplex:Reiner Bivektor (vgl. 3D), jedoch komplex:
E zeitartiger Anteil, B raumartigE zeitartiger Anteil, B raumartig
Maxwell-Gleichung: Maxwell-Gleichung: F = J F = J vgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dAvgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dA
2828
Dirac-GleichungDirac-Gleichung
Relativistischer Impuls in SchrRelativistischer Impuls in Schröödingergleichung:dingergleichung: E=pE=p22/2m /2m E E2 2 = m= m22 – p – p22
((αα00mcmc²² + + ∑∑ ααjj p pjj c c)) = i = i ħħ / / t tmit mit ααj j Dirac-Matrizen (4Dirac-Matrizen (44)4)
in Dirac-Basis: in Dirac-Basis: 00 = = αα00, , ii = = αα00 ααi i mit [mit [μμ,,νν]] = 2 = 2 ηημνμν
Kovariante SchreibweiseKovariante Schreibweise ∑∑ μμ μμ = mc = mc²²
In GA haben Basisvektoren {In GA haben Basisvektoren {00, , 11, , 22, , 33} } gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac-gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac-Matrizen:Matrizen:
= mc= mc²² 00
2929
GA in der ComputergraphikGA in der Computergraphik
Homogene Koordinaten (4D):Homogene Koordinaten (4D):ZusZusäätzliche Koordinate etzliche Koordinate e, 3-Vektor: A, 3-Vektor: Aii / A / A
Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen und Punkten, Standard z.B. in OpenGLund Punkten, Standard z.B. in OpenGL
Konforme, homogene Koordinaten (5D):Konforme, homogene Koordinaten (5D):ZusZusäätzliche Koordinaten etzliche Koordinaten e00, e, e
Signatur (+,+,+,+,-) , eSignatur (+,+,+,+,-) , e00ee=-1, |e=-1, |e00|| = |e= |e|| =0=0
Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte (Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5D(Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5DVereinigungen und Schnitte von Objekten sind Vereinigungen und Schnitte von Objekten sind algebraische Operationen (“meet”, “join”)algebraische Operationen (“meet”, “join”)
3030
Objekte in Konformer 5D GAObjekte in Konformer 5D GA
PunktPunkt x + ex + e00 + |x| + |x|22/2 e/2 e
Paar von PunktenPaar von Punkten aabb
LinieLinie aabbee
KreisKreis aabbcc
EbeneEbene aab b c c ee
KugelKugel aabbccdd
3131
ImplementierungenImplementierungen
Auswertung zur Laufzeit Auswertung zur Laufzeit geoma (2001-2005), GABLE geoma (2001-2005), GABLE
(symbolic GA)(symbolic GA)
Matrix-basiertMatrix-basiert CLU (2003)CLU (2003)
Code-GeneratorCode-Generator Gaigen (-2005)Gaigen (-2005)
Template Meta Programming Template Meta Programming GLuCat, BOOST (~2003)GLuCat, BOOST (~2003)
Erweiterung von Erweiterung von ProgrammiersprachenProgrammiersprachen
3232
LiteraturLiteratur
http://modelingnts.la.asu.edu/http://modelingnts.la.asu.edu/ http://www.mrao.cam.ac.uk/˜cliffordhttp://www.mrao.cam.ac.uk/˜clifford
David Hestenes: David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition)New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition) . . ISBN 0792355148ISBN 0792355148, , Kluwer Academic Publishers (1999)Kluwer Academic Publishers (1999)
Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (David Hestenes)(David Hestenes)
Geometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representationGeometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representation (Leo Dorst, (Leo Dorst, University of Amsterdam)University of Amsterdam)
An Introduction to the Mathematics of the Space-Time AlgebraAn Introduction to the Mathematics of the Space-Time Algebra (Richard E. Harke, University of (Richard E. Harke, University of Texas)Texas)
EUROGRAPHICS 2004 Tutorial:EUROGRAPHICS 2004 Tutorial: Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics (D. (D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst)Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst)
Rotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to GravityRotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to Gravity (A.N. Lasenby, C.J.L. (A.N. Lasenby, C.J.L. Doran, Y. Dabrowski, A.D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/9707165Doran, Y. Dabrowski, A.D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/9707165