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Ringe1
Definition:Ring
Algebra
Ringe2
Definition:kommutativer Ring
Algebra
Ringe3
Definition:Unterring
Algebra
Ringe4
Unterringkriterium
Algebra
Ringe5
Definition:Ringhomomorphismus
Algebra
Ringe6
Kern/Bild einesRinghomomorphismus
Algebra
Ringe7
Charakterisierunginjektiver Ringhomomorphismus
Algebra
Ringe8
Definition:Ropp
Algebra
Ringe9
Faktorring
Algebra
Ringe10
kanonischer Epimorphismus
Algebra
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Ein Ring (R,+, ·) heißt kommutativ, wenn seinemultiplikative Halbgruppe kommutativ ist, d.h.wenn gilt:
x · y = y · x ∀x, y ∈ R
Ein Tripel (R,+, ·) mit R 6= ∅ und inneren Verknupfungen+, · heißt (assoziativer) Ring, wenn gilt:
• (R,+) ist eine abelsche Gruppe
• (R, ·) ist eine Halbgruppe
• fur +, · und x, y, z ∈ R gelten die Distributivgesetze
x · (y + z) = x · y + x · z
(x+ y) · z = x · z + y · z
Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes(R,+, ·) ist Unterring von R
⇔
∀x, y ∈ U gilt: x− y ∈ U und xy ∈ U .
Eine nichtleere Teilmenge U eines Ringes(R,+, ·) heißt Unterring von R, wenn sich dieOperationen +, · auf U einschranken lassen,so daß (U,+, ·) zu einem Ring mit deneingeschrankten Operationen wird.
Sei ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus.
• ker(ϕ) = {r ∈ R | ϕ(r) = 0} ist ein Unterringvon R,
• ϕ(R) ist ein Untermodul von S.
Seien (R,+, ·), (S,+, ·) Ringe.
Eine Abbildung ϕ : R→ S heißt ein
Ringhomomorphismus
wenn fur alle x, y ∈ R gilt:
• ϕ(x+ y) = ϕ(x) + ϕ(y)
• ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y)
Ropp ist ein Ring uber der gleichen Menge wie
R, mit der Verknupfung
a ◦ b := ba
Sei ϕ ein Ringhomomorphismus.
ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}
Der kanonischer Epimorphismus ist die Abb.
π : R → R/Ix 7→ x+ I
Sei I ein Ideal in (R,+, ·). (R,+) ist kommutativ,I ist Normalteiler in (R,+), es existiertFaktorgruppe R/I.
Definieren Produkt: (x+ I)(y + I) := xy + I
Wohldefiniertheit folgt aus Idealeigenschaft.
(R/I,+, ·) ist ein Ring, der Faktorring.
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Ringe11
Homomorphiesatz fur Ringe
Algebra
Ringe12
Isomorphiesatz fur Ringe
Algebra
Ringe13
Isomorphiesatz fur Ringe, Kurzen
Algebra
Ringe14
Einheitengruppe
Algebra
Ringe15
Definition:Schiefkorper
Algebra
Ringe16
Definition:einfacher Ring
Algebra
Ringe17
Definition:lokaler Ring
Algebra
Ringe18
Definition:Integritatsring
Algebra
Ringe19
Z(p)
Algebra
Ringe20
CharakterisierungRing ist lokal . . .
Algebra
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Isomorphiesatz:
Fur Unterring U und Ideal I eines Ringes R gilt
U ∩ I ist Ideal von U ,
(U + I)/I ∼= U/(U ∩ I)
Sei ϕ : R→ S ein Ringhomomorphismus. Dann gilt:
R/ker(ϕ) ∼= ϕ(R)
Haben Gruppenisomorphismus
Φ�x+ ker(ϕ)
�:= ϕ(x),
Φ ist sogar Ringhomomorphismus.
a ∈ R heißt Einheit in R, wenn es x, y ∈ R gibt mitxa = 1 und ay = 1, also wenn es invertierbar ist.
R∗ = {a ∈ R | ∃x, y ∈ R : xa = 1 ∧ ay = 1}
ist die Einheitengruppe von R.
Isomorphiesatz/Kurzen:
Fur Ideale I ⊂ J eines Ringes R gilt
(R/I)/(J/I) ∼= R/J
R heißt einfach, wenn R 6= {0} und die einzigenzweiseitigen Ideale nur {0} und R sind.
R heißt Schiefkorper, wenn
R∗ = R \ {0}
R heißt Integritatsring, wenn R
– kommutativ ist
– ein Einselement besitzt
– nullteilerfrei ist:
ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
R sei kommutativ mit Eins. R heißt lokal, wenn
es genau ein einziges maximales Ideal in R gibt.
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.
Dann ist R lokal
⇔R \R∗ ist ein Ideal
Lokalisierung am Primideal (p):
Z(p) =
�a
b| a, b ∈ Z, p - b
�
Z(p) ist lokaler Ring, Z(p) ist Hauptidealring.
(kommutativ mit 1)
Einziges maximales Ideal: (p)
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Ringe21
Beispiel fur einen faktoriellen Ring,der kein Hauptidealring ist
Algebra
Ringe22
Beispiel fur einen Integritatsring,der nicht faktoriell ist
Algebra
Ringe23
Kurzungsregel
Algebra
Ringe24
Definition: Hauptidealring
Algebra
Ringe25
Definition:faktorieller Ring
Algebra
Ringe26
Charakterisierungfaktorieller Ring
Algebra
Ringe27
Definitioneuklidischer Ring
Algebra
Ringe28
Implikationskette Ringe
Algebra
Ideale1
Definition:Linksideal
Algebra
Ideale2
Ideale unterHomomorphismen
Algebra
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Z[√−5] ⊂ C
Einheiten: ±1 = N(z) = a2 + 5b2 ⇒ z = ±1
a2 + 5b2 6= 3 ⇒ z mit N(z) = 9 ist unzerlegbar
N(3) = N(2 ±√−5) = 3, 3 und 2 ±
√−5 sind
unzerlegbar,
9 = 3·3 = (2+√−5)(2−
√−5) sind zwei verschiedene
Zerlegungen als Produkt unzerlegbarer Elemente
Z ist faktoriell ⇒ Z[X] ist faktoriell
aber:
Z ist kein Korper ⇒ Z[X] ist kein Hauptidealring
R heißt Hauptidealring, wenn
• R ist Integritatsring
• jedes Ideal in R ist Hauptideal
In Integritatsringen R gibt es keine Nullteiler,daher ist dort fur Nichtnullteiler x:
ax = bx ⇒ ax− bx = 0 ⇒ (a− b)x = 0
⇒ a− b = 0 ⇒ a = b,
denn x ist kein Nullteiler.
Sei R ein Integritatsring.
R ist faktoriell
⇔Jedes unzerlegbare Element ist prim und jedesa 6∈ R∗ ∪ {0} ist Produkt von unzerlegbarenElementen
⇔Jedes a 6∈ R∗ ∪ {0} ist endliches Produkt vonPrimelementen
Ein Ring R heißt faktorieller Ring, wenn gilt:
• R ist Integritatsring
• jedes a 6∈ R∗ ∪ {0} laßt sich eindeutig alsendliches Produkt von unzerlegbarenElementen darstellen.
R euklidisch ⇒ R ist Hauptidealring ⇒R ist faktoriell ⇒ R ist Integritatsbereich
Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht!
Ein Integritatsring R heißt euklidisch, wenn eseine Abbildung
δ : R \ {0} → N ∪ {0}
gibt mit der Eigenschaft:
zu a, b ∈ R existieren q, r ∈ R mit
a = qb+ r und r = 0 oder δ(r) < δ(b)
Seien ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus, I einIdeal in R, J ein Ideal in S. Dann gilt:
• ϕ−1(J) ist ein Ideal in R
• ist ϕ surjektiv, so ist ϕ(I) ein Ideal in S
Eine Teilmenge I eines Ringes R heißtLinksideal, wenn
• 0 ∈ I (aq. I 6= ∅)• a− b ∈ I fur alle a, b ∈ I• ra ∈ I fur alle r ∈ R, a ∈ I
erstere beide bedeuten: Untergruppe von (R,+)
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Ideale3
Durchschnitt von Idealen
Algebra
Ideale4
erzeugtes Ideal (A)
Algebra
Ideale5
(A) =?
Algebra
Ideale6
Definition:Hauptideal
Algebra
Ideale7
Produkt von Idealen
Algebra
Ideale8
Summe von Idealen
Algebra
Ideale9
Definition:Maximales Ideal
Algebra
Ideale10
Definition:Primideal
Algebra
Ideale11
Existenzmaximaler Ideale
Algebra
Ideale12
R/I Korper ⇔ . . .
Algebra
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Sei A ⊂ R Teilmenge des Ringes R. Dann heißt
\{I | I ist Ideal von R mit A ⊂ I} =: (A)
das von A erzeugte Ideal in R.
Sei (Iµ)µ∈M eine Familie von Idealen in R. Dann ist
\µ∈M
Iµ
wieder ein Ideal in R.
Ein Hauptideal wird von einem Element erzeugt:
(a) =
�Xendl.
xiayi +Xendl.
ax′i +Xendl.
x′ia+ na
�
wenn R kommutativ:
(a) = {ra+ na} = Ra+ Za
wenn R kommutativ mit Eins:
(a) = Ra
A ⊂ R dann
(A) =
�Xendl.
xiaiyi+Xendl.
a′ix′i+Xendl.
x′ia′′i +Xendl.
n′ia′′′i
�
das von A erzeugte Ideal in R.
Summe von Idealen:
Xµ∈M
Iµ =
�Xendl.
aµ | µ ∈M,aµ ∈ Iµ�
Ist wieder ein Ideal von R.
Produkt von Idealen:
IJ =�{ab | a ∈ I, b ∈ J}
�ist das von allen Produkten ab erzeugte Ideal.
IJ =
�Xendl.
aibi | ai ∈ I, bi ∈ J�
R sei kommutativ mit Eins.
Ein Ideal I heißt Primideal, wenn gilt:
ab ∈ I ⇒ a ∈ I oder b ∈ I
Ein Ideal I 6= R heißt maximal, wenn es
kein großeres echtes Ideal gibt:
J �R ∧ I ⊂ J ⇒ I = J ∨ J = R
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.
Ideal I ist maximal
⇔R/I ist ein Korper
Sei R ein Ring mit Eins. Dann besitzt R
maximale Ideale.
X := {I �R, I 6= R} ist induktiv geordet
Folgerung: Jedes Ideal 6= R liegt in einem
maximalen Ideal.
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Ideale13
R/I Integritatsring ⇔ . . .
Algebra
Ideale14
Wann sind maximale Idealeprim?
Algebra
Ideale15
Ideale in Z
Algebra
Ideale16
prime/maximale Ideale imHauptidealring
Algebra
Ideale17
Satz: Ideale imPolynomring uber Korper
Algebra
Ideale18
Lemma:Primideale in R[X]
Algebra
Teilbarkeit in IR1
DefinitionTeilbarkeit
Algebra
Teilbarkeit in IR2
EigenschaftenTeilbarkeit
Algebra
Teilbarkeit in IR3
Definition: assoziiert
Algebra
Teilbarkeit in IR4
Definition: prim
Algebra
10 http://algebra1.de
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins.
Dann sind maximale Ideale prim in R.
Sei R ein Ring kommutativ mit Eins, I ein Ideal.
Ideal I ist Primideal
⇔R \ I ist multiplikativ abgeschlossen
⇔R/I ist ein Integritatsring
Im Hauptidealring, sind Primelemente genau dieunzerlegbaren Eemente, d.h.
• p prim ⇔ p unzerlegbar
• Ist a 6= 0, dann ist (a) Primideal ⇔ (a) istmaximales Ideal
• Ideale in Z sind genau die mZ
• maximale Ideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl
• Primideale in Z sind genau die pZ, p Primzahl oderp = 0 (0) ist Primideal
R sei kommutativer Ring mit Eins.
Ist P Primideal von R
⇒
P [X] = {PaiX
i | ai ∈ P} ist Primideal in R[X]
Beweis: uber universelle Eigenschaft.
Der Polynomring uber einem Korper ist ein
Hauptidealring.
Folgt, weil er euklidischer Ring ist.
• 1 | a, a | a• a | 1 ⇔ a ∈ R∗
• a | b ⇒ ar | br ∀r ∈ R• a | bi, i = 1, . . . , n ⇒ a |
Pni=1 ribi ∀r1, . . . rm ∈ R
• a | b ∧ b | c ⇒ a | c• a | b ⇔ (a) ⊃ (b)
• (a) = (b) ⇔ ∃u ∈ R∗ : a = bu
a | b in R, wenn es ein c ∈ R gibt mit b = ac
Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}. p heißt prim, wenn
p | ab ⇒ p | a oder p | b
a, b ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit
u ∈ R∗ gibt mit a = bu.
Schreibweise: a ∼ b
ist Aquivalenzrelation
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Teilbarkeit in IR5
Definition: unzerlegbar
Algebra
Teilbarkeit in IR6
Charakterisierungprim, unzerlegbar
Algebra
Teilbarkeit in IR7
gemeinsamer Teiler,ggT
Algebra
Teilbarkeit in IR8
ggT im Hauptidealring
Algebra
Teilbarkeit in IR9
Darstellung ggT imHauptidealring
Algebra
Teilbarkeit in IR10
Korollar im HIR,wenn ggT(a, b) = 1
Algebra
Teilbarkeit in IR11
Primfaktorzerlegung inHauptidealringen
Algebra
Mengen1
Definition:Halbordnung
Algebra
Mengen2
Definition:vollstandig geordnet
Algebra
Mengen3
Definition:obere Schranke
Algebra
12 http://algebra1.de
Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}.
• p prim ⇔ (p) Primideal
• p unzerlegbar ⇔ (p) maximal unter allenHauptidealen
• p prim ⇒ p unzerlegbar
Maximalideale sind prim.
Sei p 6∈ R∗ ∪ {0}. p heißt unzerlegbar, wenn
p = ab ⇒ a ∈ R∗ oder b ∈ R∗
Sei R ein Hauptidealring.
d ist ggT von a1, . . . , an
⇔(d) = (a1, . . . , an)
Sei R ein Integritatsring.
d ∈ R heißt gemeinsamer Teiler von r1, . . . , rn ∈R, wenn d | r1, . . . , d | rn
d ∈ R heißt großter gemeinsamer Teilervon r1, . . . , rn ∈ R, wenn d ein gemeinsamerTeiler ist und jeder gemeinsame Teiler d′ d teilt.
ggT existieren nicht immer, d′ ∼ d
Sei R ein Hauptidealring, ggT(a, b) = 1.
• a | bc ⇒ a | c• a | c ∧ b | c ⇒ ab | c
Sei R ein Hauptidealring.
Satz von Bezout:
Zu a1, . . . , an ∈ R existiert ein ggT und er laßtsich darstellen als
d = r1a1 + . . .+ rnan
mit r1, . . . , rn ∈ R.
Eine Relation”≤“ auf X 6= ∅ heißt Halbordnung,
wenn gilt
• x ≤ x ∀x ∈ X• x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y ∀x, y ∈ X• x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z ∀x, y, z ∈ X
(ohne daß je zwei Elemente x, y vergleichbar seinmussen)
Sei R ein Hauptidealring, a 6∈ R∗ ∪ {0}.
Dann gibt es Primelemente p1, . . . , pr mit
a = p1 · · · pr.
Wenn a = q1 · · · qt eine weitere Darstellung alsProdukt von Primelementen ist, dann gilt r = tund es gibt eine Permutation σ der Indizes,so daß qi ∼ pσ(i) ∀ i.
Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordnetenMenge X. q ∈ X heißt obere Schranke fur B,wenn
b ≤ q ∀ b ∈ B
(q muß mit allen Elementen aus B vergleichbar sein.)
Eine nichtleere Teilmenge A einer halbgeordnetenMenge heißt vollstandig geordnet, wenn je
zwei Elemente aus A vergleichbar sind.
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Mengen4
Definition:maximales Element
Algebra
Mengen5
Definition:induktiv geordnet
Algebra
Mengen6
Beispiele induktiver Ordnung
Algebra
Mengen7
Lemma von Zorn,starke Version
Algebra
Mengen8
Lemma von Zorn,schwache Version
Algebra
Mengen9
Auswahlaxiom
Algebra
Quadratische Zahlkorper1
Definition:Quadratischer Zahlkorper
Algebra
Quadratische Zahlkorper2
Definition:Norm-Abbildung
Algebra
Quadratische Zahlkorper3
Eigenschaftender Norm-Abbildung N
Algebra
Quadratische Zahlkorper4
Definition: Z[√
n]
Algebra
14 http://algebra1.de
Eine Menge X mit Halbordnung”≤“ heißt
induktiv geordnet, wenn jede vollstandig
geordnete Teilmenge eine
obere Schranke in X besitzt.
Sei B eine nichtleere Teilmenge einer halbgeordnetenMenge X. m ∈ B heißt maximales Element vonB, wenn es keine großeren Elemente in B gibt:
b ∈ B ∧ m ≤ q ⇒ m = b
(m braucht nicht mit allen Elementen aus B
vergleichbar sein.)
Sei X eine nichtleere induktiv geordnete Menge.
Dann gibt es zu jedem Element a ∈ X ein maximalesElement m ∈ X mit a ≤ m.
Folgt aus schwacher Version mit
Xa := {x ∈ X | a ≤ x}
• R mit ≤ oder ≥• Potenzmenge P(M) einer Menge M mit Inklusion⊂ oder ⊃Bei M vollstandig geordnet sind
Sbzw.
Tobere Schranken
• C mit lexikographischer Ordnung
a+ bi ≤ c+ di ⇔ a < c oder a = c, b ≤ d
• C mit Ordnung auf Geraden durch Nullpunkt
Auswahlaxiom:
Ist A eine Menge von nichtleeren Mengen, dann
gibt es eine Funktion F mit Definitionsbereich A,genannt Auswahlfunktion, so daß gilt:
∀X ∈ A : F (X) ∈ X
F wahlt also aus jeder Menge X in A genau einElement aus.
Jede nichtleere induktiv geordnete Menge besitzt
ein maximales Element.
Definition Normabbildung
N : Q(√n) → Q
x+ y√n 7→ x2 − ny2
Sei n ∈ Z, n quadratfrei, n 6= 0, 1. Betrachte
Q(√n) := {x+ y
√n | x, y ∈ Q}
Q(√n) ist ein Korper.
(Inverses: Nenner rational machen)
Z[√n] = {a+ b
√n | a, b ∈ Z}
ist Integritatsring mit Eins
• N(x+ y√n) = 0 ⇔ x = y = 0
• N(z1z2) = N(z1)N(z2) ∀ z1, z2 ∈ Q[√n]
⇒ N ist injektiver Hom., da ker(N) = {0}Q[√n] ↪→ EndQQ[
√n]
• N(z) = zz
• z−1 = zN(z)
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Quadratische Zahlkorper5
Einheiten in Z[√
n]
Algebra
Quadratische Zahlkorper6
Wann ist Z[√
n] euklidisch?
Algebra
Quadratische Zahlkorper7
Ist Z[i] euklidisch?
Algebra
Quadratische Zahlkorper8
Primelemente in Z[i]
Algebra
Quadratische Zahlkorper9
Satz von Fermat
Algebra
Lokalisierung1
Voraussetzungen
Algebra
Lokalisierung2
Relation
Algebra
Lokalisierung3
Addition
Algebra
Lokalisierung4
Multiplikation
Algebra
Lokalisierung5
α : R→ RH−1
(I)
Algebra
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Z[√n] ist euklidisch fur
n = −2,−1, 2, 3
Setze dafur δ(z) := |N(z)| = |zz|
Einheiten in Z[√n]:
z ∈ Z[√n]∗ ⇔ N(z) = ±1
Es gibt 2 Arten von Primelementen in Z[i]:
• ±p,±ip p ∈ Z Primzahl, nicht Summe
zweier Quadrate
• a+ bi, a, b 6= 0, a2 + b2 ist prim in Z
Der Ring der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] isteuklidisch.
Voraussetzungen fur Lokalisierung:
• R ein kommutativer Ring
• H ⊂ R multiplikativ abgeschlossene Teilmenge,
• H enthalt keine Nullteiler von R
Betrachte R×H =�(r, h) | r ∈ R, h ∈ H
Satz von Fermat:
Sei p ∈ Z Primzahl, p ≡ 1(4). Dann gibt esa, b ∈ Z mit p2 = a2 + b2.
Definition der Addition:
r1//h1 + r2//h2 = (r1h2 + r2h1)//(h1h2)
ist wohldefiniert, d.h. reprasentantenunabhangig
(R × H/ ∼,+) ist abelsche Gruppe, neutrales Ele-ment 0//h
inverses Element zu r//h ist (−r)//h
Definition der Relation:
(r1, h1) ∼ (r2, h2) ⇔ r1h2 = r2h1
ist Aquivalenzrelation (benutze Nullteilerfreiheit)
Schreibweise: r//h fur die Aquivalenzklasse, die (r, h)enthalt
Sei R kommutativ, H ⊂ R multiplikativabgeschlossen ohne Nullteiler
Die Abbildung
α : R → RH−1
x 7→ xu//u
ist von u unabhangig und ist ein injektiverRinghomomorphismus.
(Kern ist {0} wegen Nullteilerfreiheit)
Definition der Multiplikation:
r1//h1 · r2//h2 = (r1r2)//(h1h2)
ist wohldefiniert, d.h. reprasentantenunabhangig
(R×H/ ∼,+, ·) ist abelsche Gruppe, neutralesElement h//h
Distributiv, also ist R×H/ ∼ ein kommutativerRing mit Eins,
Schreibweise: RH−1
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Lokalisierung6
α : R→ RH−1
(II)
Algebra
Lokalisierung7
α : R→ RH−1
(III)universelle Eigenschaft
Algebra
Lokalisierung8
Sinn der Lokalisierung
Algebra
Lokalisierung9
Nullteiler zugelassen
Algebra
Polynomringe1
Definition:Ring der formalen Potenzreihen
Algebra
Polynomringe2
Definition:Ring der Polynome
Algebra
Polynomringe3
Definition:Grad eines Polynoms
Algebra
Polynomringe4
Definition:Leitkoeffizient
Algebra
Polynomringe5
Definition:normiertes Polynom
Algebra
Polynomringe6
Definition:irreduzibles Polynom
Algebra
18 http://algebra1.de
Sei S kommutativer Ring, ϕ : R→ S ein Homomor-phismus und ϕ(h) fur h ∈ H invertierbar in S.
Dann existiert genau ein Homomorphismus ψ :RH−1 → S mit ψ ◦ α = ϕ.
Rα //
ϕ��?
????
??? RH−1
∃!ψ||yy
yyyy
yyy
S
Jedes α(h) mit h ∈ H ist invertierbar in RH−1,das Inverse ist h//h2.
Ausrechnen, Kurzen
Bei Nichtnullteilern: Definition der Relation:
(r1, h1) ∼ (r2, h2) ⇔ ∃h ∈ H : (r1h2 − r2h1)h = 0
Kommutativitat ist wesentlich
h ist fur Wohldefiniertheit notig, und erlaubt, Bruchezu kurzen
Lokalisierung:
Einem Ring R werden neue multiplikative Inversehinzugefugt.
Elemente einer Teilmenge H werden invertierbargemacht.
Man konstruiert einen Ring RH−1 und einen Ring-homomorphismus α : R→ RH−1, der H aufEinheiten in RH−1 abbildet.
Die Lokalisierung ist die”beste Wahl“ nach der
universellen Eigenschaft.
R[X] := {f ∈ R[[X]] | f ist fast uberall 0}
R ↪→ R[X] ↪→ R[[X]]
R[[X]] ist kommutativer Ring mit Eins, derRing der Polynome uber R.
R sei kommutativer Ring mit Eins.
R[[X]] := {f : N ⊂ {0} → R}(f + g)(m) := f(m) + g(m)
(fg)(m) :=Pmk=0 f(k)g(m− k)
R[[X]] ist kommutativer Ring mit Eins, derRing der formalen Potenzreihen
Der Leitkoeffizient ist der hochste nicht
verschwindende Koeffizient des Polynoms.
Die Funktion
deg : R[X] \ {0} → N ∪ {0}f 7→ max{i : ai 6= 0}
heißt der Grad des Polynoms f .
Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es
unzerlegbar ist.
Ein Polynom heißt normiert, wenn der
Leitkoeffizient 1 ist.
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Polynomringe7
Gradsatz
Algebra
Polynomringe8
SatzPolynomring, Integritatsring
Algebra
Polynomringe9
Satz:Polynomring uber Korper
Algebra
Polynomringe10
Satz: Ideale imPolynomring uber Korper
Algebra
Polynomringe11
Wenn R Korper ist, was ist R[X]?
Algebra
Polynomringe12
Satz:Faktorzerlegung in K[X]
Algebra
Polynomringe13
Satz:Faktorring eines Polynomrings
Algebra
Polynomringe14
Definition:Einsetzhomomorphismus
Algebra
Polynomringe15
Anzahl der Nullstelleneines Polynoms
Algebra
Polynomringe16
Definition:Inhalt eines Polynoms
Algebra
20 http://algebra1.de
• R ist Integritatsring ⇔ R[X] ist Integritatsring
Beweis: Leitkoeffizienten multiplizieren sich.
• Wenn R Integritatsring ist, dann ist R[X]∗ = R∗
Beweis: Gradsatz, Gradvergleich mit 1
Seien f, g ∈ R[X] \ {0}.
• fg = 0 oder deg(fg) ≤ deg(f) + deg(g)
• Wenn R ein Integritatsring ist, dann ist
deg(fg) = deg(f) + deg(g).
Beweis: Leitkoeffizienten ansehen.
Der Polynomring uber einem Korper ist ein
Hauptidealring.
Folgt, weil er euklidischer Ring ist.
Der Polynomring uber einem Korper ist ein
euklidischer Ring.
Im kommutativen Ring mit Eins funktioniert
Division mit Rest, mittels Gradfunktion.
Ist K ein Korper, dann ist K[X] faktoriell.
Jedes f 6= 0 laßt sich bis auf Reihenfolgeeindeutig als
f = cp1p2 · · · pkschreiben, pi normiert, pi irreduzibel, c ∈ K.
R ist Korper
⇔R[X] ist euklidischer Ring
⇔R[X] ist Hauptidealring
Sei R ⊂ S kommutativer Unterring von S mit Eins,
1R = 1S .
Φα : R[X] → S
f 7→ f(α)PaiX
i 7→Paiα
i
ist der Einsetzhomomorphismus.
Ist K ein Korper, und f ∈ K[X] irreduzibel,dann ist
K[X]/(f)
ein Korper.
Beweis: unzerlegbar ⇒ (f) ist maximal ⇒K[X]/(f) ist Korper.
Sei R ein faktorieller Ring, und f =Pni=0 aiX
i 6= 0.
I(f) = ggT(a0, . . . , an) heißt der Inhalt von f .
I(f) ist formal eine Menge, die man haufig mit einemReprasentanten identifiziert.
Sei R ein Integritatsring, und f ∈ R[X] einPolynom vom Grad n.
Dann hat f hochstens n verschiedene Nullstellen.Fur jede Nullstelle α ∈ R ist X − α ein Teiler vonf in R[X].
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Polynomringe17
Definition:primitives Polynom
Algebra
Polynomringe18
Satz von Gauß(Inhalte)
Algebra
Polynomringe19
Satz:Produkt primitiver Polynome
Algebra
Polynomringe20
Universelle Eigenschaftdes Polynomrings
Algebra
Polynomringe21
Lemma:Primideale in R[X]
Algebra
Polynomringe22
Satz von Gauß(R faktoriell)
Algebra
Polynomringe23
Satz von Gauß:Zerlegung eines Polynoms
Algebra
Polynomringe24
Wenn f in R[X] irreduzibel, . . .
Algebra
Polynomringe25
Wenn f in K[X] irreduzibel, . . .
Algebra
Polynomringe26
Satz von Gauß(R faktoriell, n Unbestimmte)
Algebra
22 http://algebra1.de
Sei R ein faktorieller Ring, und f, g ∈ R[X] \ {0}.
Dann istI(fg) ∼ I(f)I(g)
Sei R ein faktorieller Ring, und f =Pni=0 aiX
i 6= 0.
f heißt primitiv, wenn der Inhalt I(f) eine Einheitin R ist, also
I(f) ∈ R∗
Seien R,S kommutative Ringe mit Eins. Seiϕ : R→ S ein Homomorphismus mit ϕ(1R) = 1S .
Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus
Φ : R[X] → S[X] mit
Φ�X
aiXi�
=X
ϕ(ai)Xi
Sei R ein faktorieller Ring.
Das Produkt primitiver Polynome ist wiederprimitiv.
(folgt aus dem Produkt der Inhalte)
Ist R ein faktorieller Ring
⇒
R[X] ist ein faktorieller Ring
R sei kommutativer Ring mit Eins.
Ist P Primideal von R
⇒
P [X] = {PaiX
i | ai ∈ P} ist Primideal in R[X]
Beweis: uber universelle Eigenschaft.
wenn f ∈ R[X] irreduzibel ⇒ f in K[X] irreduzibel
Sei R faktoriell, K der Quotientenkorper von R,f ∈ R[X] \ {0}.
Sei f = gh eine Zerlegung mit g, h ∈ K[X]. Dannexistieren α, β ∈ K, c ∈ R mit
(i) αg =: g1, βh =: h1, g1, h1 ∈ R[X],
(ii) f = cg1h1, g1, h1 primitiv
Ist R ein faktorieller Ring
⇒
R[X1, . . . , Xn] ist ein faktorieller Ring
Wenn f ∈ R[X], f 6∈ R∗ ∪ {0} primitiv,
in K[X] irreduzibel
⇒
f in R[X] prim, insbesondere irreduzibel
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Polynomringe27
Irreduzibilitatskriteriumvon Eisenstein
Algebra
Polynomringe28
Wann ist derEinsetzhomomorphismus
ein Isomorphismus?
Algebra
Moduln1
Definition:Modul
Algebra
Moduln2
Definition:unitarer Modul
Algebra
Moduln3
Definition:Untermodul
Algebra
Moduln4
Definition:zyklischer Untermodul
Algebra
Moduln5
Definition:Faktormodul
Algebra
Moduln6
Definition:Modulhomomorphismus
Algebra
Moduln7
Kern/Bild einesModulhomomorphismus
Algebra
Moduln8
Charakterisierunginjektiver Modulhomomorphismus
Algebra
24 http://algebra1.de
Sei R ein Integritatsring.
Der Einsetzhomomorphismus
Φg : R[X] → R[X]
f 7→ f(g)
ist ein Isomorphismus ⇔ g = aX+bmit a ∈ R∗, b ∈R.
Sei R faktoriell und f =Pni=0 ∈ R[X] ein
nicht konstantes primitives Polynom.
Wenn es ein Primelement p ∈ R gibt mit
p - an, p | ai(i < n), p2 - a0,
dann ist f irreduzibel in R[X] und Q(R)[X].
Ein R-Modul M heißt unitar, wenn R ein Einselementbesitzt und
1Rm = m ∀m ∈M.
R sei Ring, M sei abelsche Gruppe. M heißt R-Modul,wenn es eine Abbildung
R×M →M
gibt mit:r(m1 +m2) = rm1 + rm2
(r1 + r2)m = r1m+ r2m(r1r2)m = r1(r2m)
∀ r, r1, r2 ∈ R,m,m1,m2 ∈M .
Ein R-Untermodul U von RM heißt zyklisch, wenn es einElement a ∈M gibt mit
U = Ra
U ist R-Untermodul von RM , wenn
• U eine Untergruppe von M ist
• ru ∈ U ∀ r ∈ R, u ∈ U .
Seien M,N R-Moduln.
Eine Abbildung ϕ : M → N heißt ein
Modulhomomorphismus
wenn:
• ϕ ist Gruppenhomomorphismus,
• ϕ(rm) = rϕ(m) ∀ r ∈ R,m ∈M
Sei U R-Untermodul von M . Dann ist M/U ein R-Modulmittels
r(m+ U) := rm+ U
M/U heißt Faktormodul.
Sei ϕ ein Modulhomomorphismus.
ϕ ist injektiv ⇔ ker(ϕ) = {0}
Sei ϕ ein Modulhomomorphismus.
• ker(ϕ) = {m ∈ M | ϕ(m) = 0} ist ein Untermodulvon M ,
• ϕ(M) ist ein Untermodul von N .
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Moduln9
Homomorphiesatz fur Moduln
Algebra
Moduln10
Isomorphiesatz fur Moduln
Algebra
Moduln11
Isomorphiesatz fur Moduln(Kurzen)
Algebra
Moduln12
Definition:Annulator
Algebra
Moduln13
Definition:Torsionselement
Algebra
Moduln14
Definition:torsionsfrei
Algebra
Moduln15
Satz: Torsionsuntermodul
Algebra
Moduln16
Definition:Darstellung
Algebra
Moduln17
Definition:unitare Darstellung
Algebra
Moduln18
Modul definiert Darstellung
Algebra
26 http://algebra1.de
Isomorphiesatz:
Fur Untermoduln U, V eines R-Moduls M gilt
(U + V )/V ∼= U/(U ∩ V )
Beweis: u+ v 7→ u
Homorphiesatz:
Sei ϕ : M → N ein Modulhomomorphismus. Es gilt
ϕ(M) ∼= M/ker(ϕ)
m ∈ RM
Ann(m) = {r ∈ R | rm = 0}Der Annulator ist Kern des Homomorphismus
ϕ : RR → RMr 7→ rm
und damit ein Untermodul von RR (also Linksideal).
Isomorphiesatz/Kurzen:
Fur Untermoduln U, V eines Moduls M mit U ⊂ V ⊂Mgilt
(M/U)/(V/U) ∼= M/V
Beweis: m+ U 7→ m+ V
M heißt torsionsfrei, wenn es keineTorsionselemente gibt.
m ∈M heißt Torsionselement, wenn
AnnR(m) 6= {0},
d.h. wenn es ein r 6= 0 gibt mit rm = 0.
Sei M abelsche Gruppe. Jeder Homomorphismus
ϕ : R→ End(M)
heißt Darstellung von R.
Sei R ein Integritatsring, M ein R-Modul.
Dann ist Tor(M), die Menge aller Torsionselemente,ein R-Untermodul von M .
Tor(M) = {m ∈M | ∃ r 6= 0 : rm = 0}
M sei (unitarer) R-Modul. Dann definiert die Abbildung
ϕ : R → End(M)ϕ(r)(m) := rm ∀ r ∈ R,m ∈M
eine (unitare) Darstellung.
Ein Homomorphismus
ϕ : R→ End(M)
heißt unitare Darstellung von R, wenn
• R ein Einselement besitzt
• ϕ(1R) = IdM
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Moduln19
Darstellung definiert Modul
Algebra
Moduln20
Direktes Produkt von Moduln
Algebra
Moduln21
Direkte Summe von Moduln
Algebra
Moduln22
Wann Ubereinstimmung direkteSumme und direktes Produkt
Algebra
Moduln23
Direktes Produkt als Modul
Algebra
Moduln24
Direkte Summe als Untermodul
Algebra
Moduln25
Universelle Eigenschaftdes direkten Produkts
Algebra
Moduln26
Universelle Eigenschaftdes Coprodukts
Algebra
Moduln27
Definition:freie Familie (mi)
Algebra
Moduln28
Definition:R-Basis
Algebra
28 http://algebra1.de
(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.
Das direkte Produkt ist definiert als
Yi∈I
Mi = {f : I →[i∈I
Mi | f(i) ∈Mi ∀ i ∈ I}
alternativ: Menge der I-Tupel f = (fi)i∈I bzw. imendlichen/abz. Fall f = (f0, f1, f2, . . .)
M sei abelsche Gruppe, ϕ : R → End(M) eine (unitare)Darstellung. Dann definiert
R×M →M(r,m) 7→ ϕ(r)(m) ∀ r ∈ R,m ∈M
eine (unitare) Modulstruktur.
(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.
Ist die Indexmenge I endlich, dann gilt
ai∈I
Mi =Mi∈I
Mi =Yi∈I
Mi
(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.
Die direkte Summe (Coprodukt) ist definiert als
ai∈I
Mi =Mi∈I
Mi = {f ∈Yi∈I
Mi| f(i) = 0 fur fast alle i}
(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.
Die direkte Summe (Coprodukt)ai∈I
Mi =Mi∈I
Mi
ist R-Untermodul des direkten ProduktsQi∈IMi.
(Mi)i∈I sei Familie von R-Moduln.Das direkte ProduktY
i∈I
Mi
ist ein R-Modul durch (punktweise)
(f1 + f2)(i) = f1(i) + f2(i)
(rf)(i) = rf(i) ∀ r ∈ R
A oo∃!ϕ
``
ϕj @@@@
@@@@
`Mi<<
νjyy
yyyy
yy
Mj
νj(m) =
(i 7→ 0 i 6= j
j 7→ m
Zu jedem R-Modul A und R-Modulhomomorphismen ϕjexistiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ mit
ϕ ◦ νj = ϕj
A∃!ϕ //
ϕj @@@
@@@@
@QMi
πj||yyyy
yyyy
Mj
πj(f) = f(j)
Zu jedem R-Modul A und R-Modulhomomorphismen ϕjexistiert genau ein R-Modulhomomorphismus ϕ mit
πj ◦ ϕ = ϕj
M sei ein unitarer R-Modul.
Eine Familie (mi) heißt R-Basis, wenn sie frei istund jedes m ∈ M sich darstellen laßt als endlicheR-Linearkombination aus (mi) :
m =Xendl.
rimi ri ∈ R
M sei ein unitarer R-Modul.
Eine endliche Familie (mi) heißt frei, wenn giltXrimi = 0 ⇒ ri = 0 ∀ i
(auch R-linear unabhangig)
Eine beliebige Familie heißt frei, wenn jede endlicheTeilmenge von ihr frei ist.
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Moduln29
Definition:freier R-Modul
Algebra
Moduln30
freier Modul uber Integritatsring...
Algebra
Moduln31
torsionsfreie Moduln ...
Algebra
Moduln32
M ist frei mit Basis S ⇔ . . .
Algebra
Moduln33
Wenn M eine endlicheBasis hat. . . ...
Algebra
Moduln34
Beispiel fur Basenverschiedener Machtigkeit
Algebra
Moduln35
wann sind Basen gleichmachtig
Algebra
Moduln36
Definition:Rang eines Moduls
Algebra
Moduln37
Zerlegung in direkte Summe
Algebra
Moduln38
jeder unitare Modul ist Bild
Algebra
30 http://algebra1.de
Ein freier Modul uber einem Integritatsring ist
torsionsfrei.
M sei ein unitarer R-Modul.
Wenn M eine R-Basis besitzt, dann heißt M einfreier R-Modul.
(1) M ist frei mit Basis S
⇔(2) jedes m ∈M hat eindeutige Darstellung
m =Xendl.
risi ri ∈ R, si ∈ S
⇔(3)
M ∼=as∈S
RsX
rss 7→ (rs)s∈S
Rs ∼= R s 7→ 1 (Rs ∼= R/Ann(s))
Torsionsfreie Moduln sind nicht notwendig frei:
Beispiel: Q ist torsionsfreier Z-Modul, doch je zweiElemente aus Q sind Z-abhangig
cba
b− ad
c
d= 0
K Korper, V∞-dimensionaler Vektorraum
es existiert K-Isomorphismus f : V → V ⊕ V
R := EndK(V ):
R⊕R ∼= R
Basen: idV bzw. idV × {0}, {0} × idV
Hat M eine endliche Basis S, dann gibt es
einen Isomorphismus
M ∼=as∈S
Rs ∼= R⊕R⊕ . . .⊕R = R]S
R sei kommutativ mit Eins, M ein freier unitarer
R-Modul.
Die Machtigkeit einer beliebigen R-Basis von
M heißt Rang von M .
R sei kommutativ mit Eins, M ein freier unitarer
R-Modul.
Dann haben alle Basen gleiche Lange.
Jeder unitare R-Modul ist homomorphes Bild einesfreien R-Moduls.
F =am∈M
Rm
ist R-Modul mit Basis der Machtigkeit ]M .
f : F →M(αm)m∈M 7→
Pαmm ∈M
N sei Untermodul des R-Moduls M , R beliebigmit Eins, und M/N sei ein freier R-Modul.
Dann existiert ein R-Untermodul N ′ von M mitM = N ⊕N ′.
D.h. N +N ′ = M, N ∩N ′ = {0}.
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Moduln39
Definition:Rechtsmodul
Algebra
Moduln40
Definition:Bimodul
Algebra
Tensorprodukt1
Definitionbalancierte Abbildung
Algebra
Tensorprodukt2
Definition Tensorprodukt
Algebra
Tensorprodukt3
Idee des Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt4
Universelle Eigenschaftdes Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt5
Rechenregeln Tensorprodukt
Algebra
Tensorprodukt6
Tensorprodukt mit 0
Algebra
Tensorprodukt7
Tensorprodukt mitnegativem Vorzeichen
Algebra
Tensorprodukt8
Ganzzahlige Vielfacheeines Tensorprodukts
Algebra
32 http://algebra1.de
R,S seien Ringe, M sei abelsche Gruppe. M heißt
R-S-Bimodul, wenn
• M linker R-Modul
• M rechter S-Modul
• Vertraglichkeit:
(rm)s = r(ms)
∀ r ∈ R, s ∈ S,m ∈M .
R sei Ring, M sei abelsche Gruppe. M heißt
R-Rechtsmodul, wenn es eine Abbildung
M ×R→M
gibt mit:
(m1 +m2)r = m1r +m2rm(r1 + r2) = mr1 +mr2m(r1r2) = (mr1)r2
∀ r, r1, r2 ∈ R,m,m1,m2 ∈M .
Es sei R ein Ring, M ein R-Rechtsmodul und N einR-Linksmodul. Dann ist die abelsche Gruppe M ⊗R Ndefiniert als der Quotient der freien abelschen GruppeF = {
Pzm,n(m,n) | zm,n ∈ Z} in den Erzeugern m ⊗ n
(als Symbole) fur alle m ∈M,n ∈ N nach der UntergruppeH, die von
• (m1 +m2)⊗ n−m1 ⊗ n−m2 ⊗ n
• m⊗ (n1 + n2)−m⊗ n1 −m⊗ n2
• mr ⊗ n−m⊗ rn
erzeugt wird. T = F/H, t(m,n) = (m,n) +H.
Sei M ∈ ModR, N ∈ RMod, eine Abbildung
f : M ×N → P
heißt balanciert, wenn
• f(m1 +m2, n) = f(m1, n) + f(m2, n)
• f(m,n1 + n2) = f(m,n1) + f(m,n2)
• f(mr, n) = f(m, rn)
∀ r ∈ R,m,m1,m2 ∈M,n, n1, n2 ∈ N .
M ×Nt //
f##G
GGGG
GGGG
M ⊗R N
∃!f∗zzvvvvvvvvv
P
Fur beliebige abelsche Gruppe P und beliebigeR-balancierte Abbildung f existiert genau einHomomorphismus f∗ mit f∗ ◦ t = f .
D.h. jede R-balancierte Abbildung auf M ×Nfaktorisiert durch M ⊗R N .
• Das Tensorprodukt M ⊗N ist universell furalle bilinearen Abbildungen auf M ×N
• Die Homomorphismen auf M ⊗N klassifizierendie bilinearen Abbildungen auf M ×N
• bilineare Abbildungen auf M ×N werden alsHomomorphismen aufgefaßt
m⊗ 0 = 0⊗ 0 = 0⊗ n
∀m ∈M,n ∈ N
(m1 +m2)⊗ n = m1 ⊗ n+m2 ⊗ nm⊗ (n1 + n2) = m⊗ n1 +m⊗ n2
mr ⊗ n = m⊗ rn ∀ r ∈ R
z(m⊗ n) =
(m⊗ n+ . . .+m⊗ n (z ≥ 0)
−(m⊗ n+ . . .+m⊗ n) (z < 0)
z(m⊗ n) = (zm)⊗ n = m⊗ (zn)
∀m ∈M,n ∈ N, z ∈ Z
(−m)⊗ n = −(m⊗ n)
∀m ∈M,n ∈ N
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Tensorprodukt9
Satz: Eindeutige Bestimmtheitdes Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt10
Wann ist M ⊗R N ein linker Modul?
Algebra
Tensorprodukt11
Satz: Ropp-Modul
Algebra
Tensorprodukt12
”Kommutativitat“
des Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt13
”Assoziativitat“
des Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt14
”neutrales Element“des Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt15
”Distributivitat“
des Tensorprodukts
Algebra
Tensorprodukt16
Tensorprodukts mitfreiem Modul
Algebra
Tensorprodukt17
Tensorprodukt mitUntermodul
Algebra
Tensorprodukt18
Beispiel:Z/2Z ⊗Z Z/3Z
Algebra
34 http://algebra1.de
M ∈ SModR, N ∈ RMod
⇒M ⊗R N ∈ SMod mit s(m⊗ n) = (sm)⊗ n
Steht links ein Bimodul, dann ist das TensorproduktLinksmodul.
Steht rechts ein Bimodul, dann ist das Tensorpro-dukt Rechtsmodul.
Sind (M ⊗R N, t) und (M ⊗′R N, t′) zweiTensorprodukte, welche die universelle Eigenschafterfullen, dann existiert ein Gruppenisomorphismus
Λ : M ⊗R N → (M ⊗′R N, t)Λ ◦ t = t′
Beweis: beide universelle Eigenschaften,Ubereinstimmung auf Erzeugendensystem {t(m,n)}
Seien M ∈ ModR, N ∈ RMod, dann sind
M ∈ RoppMod, N ∈ ModRopp
und es gibt einen Gruppenisomorphismus
M ⊗R N → N ⊗Ropp MPmi ⊗ ni 7→
Pni ⊗mi
Das Tensorprodukt ist bis auf Isomorphie kommutativ.
Sei M ∈ RMod. Dann ist M ∈ ModRopp .
Speziell: ist R kommutativ, dann ist
R = Ropp,RMod = ModR
und es ist M ⊗R N ein R-Modul.
Seien R ein Ring mit Eins und M ein unitarerR-Linksmodul. Dann ist
R⊗RM ∼= M
mittelsr ⊗ n 7→ rm
AnalogM ⊗R R ∼= M
Beim R-Tensorprodukt verhalt sich R neutral.
Seien L ∈ ModR,M ∈ RModS , N ∈ SMod. Dann ist
L⊗RM ∈ ModS ,M ⊗S N ∈ RMod
und es gibt einen Gruppenisomorphismus
(L⊗RM)⊗S N∼−→ L⊗R (M ⊗S N)
Das Tensorprodukt ist bis auf Isomorphie assoziativ.
Sei N ∈ ModR, frei mit Basis (ui)i∈I . Dann gilt
M ⊗R N ∼=Li∈IM ⊗R Rui
∼=Li∈IM
Seien M ∈ ModR, Ni ∈ RMod, i ∈ I. Dann gilt
M ⊗R�Mi∈I
Ni�∼=Mi∈I
M ⊗R Ni
Das R-Tensorprodukt ⊗ ist bezuglich derdirekten Summe ⊕ distributiv.
Analog die symmetrische Aussage.
R = Z,M = Z/2Z, N = Z/3Z unitare Z-Moduln.
x ∈M : 2x = 0y ∈ N : 3y = 0
x⊗ y = 3(x⊗ y)− 2(x⊗ y)= x⊗ (3y)− (2x)⊗ y= 0
⇒M ⊗R N = {0}
Sei M ∈ ModR, M ′ ein R-Untermodul von M ,N ∈ RMod und N sei frei. Dann ist dieAbbildung
M ′ ⊗R N ↪→M ⊗R Nm⊗ n 7→ m⊗ n
injektiv.
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Tensorprodukt19
Charakterisierung f ⊗ g
Algebra
Tensorprodukt20
(f ⊗ g)−1
Algebra
Tensorprodukt21
Tensorprodukt mitisomorphem Modul
Algebra
Tensorprodukt22
Tensorprodukt aufexakte Sequenz
Algebra
36 http://algebra1.de
Sind f, g R-Modulisomorphismen, dann ist f ⊗ gein Gruppenisomorphismus mit Inversem
f−1 ⊗ g−1
Seien M,M ′ ∈ ModR, N,N′ ∈ RMod, und f : M →
M ′, g : N → N ′ seien R-Modulhomomorphismen.
Dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus
f ⊗ g : M ⊗R N →M ′ ⊗R N ′
mit
f ⊗ g�X
mi ⊗ ni�
=X
f(mi)⊗ g(ni).
IstA
f−−→ Bg−−→ C −→ 0
eine exakte Sequenz von R-Linksmoduln und istD ein R-Rechtsmodul, dann ist
D ⊗R AidD⊗f−−−−→ D ⊗R B
idD⊗g−−−−→ D ⊗R C −→ 0
eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen.
Analog die symmetrische Aussage.
Ist f : M →M ′ ein R-Modulisomorphismus mitInversem f−1 : M ′ →M , dann ist
M ⊗N ∼= M ′ ⊗N.